Theorie der homogen zusammengesetzten EaumgebiJde. (p. 103) 439 



Durch den gleichen Prozess entsteht aus Taf. 1. Fig-. 2a das gewöhn- 

 liche Netz des Würfels und aus Taf. 6. Fig. 25 das entsprechende Zellgewebe 

 des regulären Achtzells; nur dass im ersten Falle das verloren gegangene 

 innerste Quadrat, im zweiten das innerste Hexaeder durch nachträgliche An- 

 setzung an eine der Aussenkanten resp. Flächen ergänzt werden muss. 



Auch für die übrigen regulären resp. homogenen vierdiraensionalen Ge- 

 bilde existiren olfenbar Zellgewebe, die aus Körpern bestehen, welche denen 

 der wirklichen Begrenzung congruent sind. Aus diesen Zellgeweben die vier- 

 dimensionalen Gebilde selbst herzustellen, gelingt nur darum nicht, weil man 

 nicht im Stande ist, ein Polyeder durch Drehung um eine seiner Grenzflächen 

 in den vierdimensionalen Raum zu bringen. 



b. Die offenen Körper. 



Die vier Arten unendlicher polyedrischer Körper verwandeln sich, wenn 

 je zwei benachbarte Körper in verschiedenen euklidischen Räumen liegen, in 

 offene Körper, d. h. in Gebilde, welche im vierdimensionalen Räume eine con- 

 tinuirliche dreidimensionale Schicht bilden, ohne jedoch einen Theil des vier- 

 dimensionalen Raumes vollständig zu begrenzen. Wir können daher sagen : 



VII. Esgiebt im vierdimensionalen Räume nur eine Art offener 

 homogener polyedrischer Körper mit endlicher Grösse aller Theile, 

 nämlich den zweiten hexaedrischen, und nur vier solche Körper 

 mit in's Unendliche abnehmender Grösse aller Theile, nämlich den 

 ikosaedrischen, den dritten hexaedrischen und den zweiten und 

 dritten dodekaedri sehen. 



Während im ersten Abschnitt die Formeln (16) — (18) (p. 31), welche 

 s, e, k durch n und p ausdrückten, nur für geschlossene und für offene Figuren 

 mit endlicher Grösse der Theile galten, weil andernfalls A und daher s, e, k 

 selbst negativ wurden, so sind diesmal die entsprechenden Formeln (23), (24), 

 (26) (p. 64) in allen elf Fällen giltig, weil sie statt A die Grösse C (=C+ 1) 

 enthalten, welche in den fünf letzten Fällen ohne Unterschied unendlich wird. 

 Aus jenen drei Formeln folgt nun 



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