Tlieorie der homogen zusammengesetzten Raumgebilde, (p. lOö) 4-1:1 



scheiden, nämlich Ausfiilhuig von Räumen mit positiver, verschwindender und 

 negativer Krümmung-. 



A 11 m. Für den zweiten Fall bietet der uns umgebende Weltraum, falls wir ihn 

 in Uebereinstimmung mit unserer Anschauung für einen euklidischen halten, das natür- 

 liche Beispiel. Füi- den ersten brauchen wir nur anzunehmen (was als physikalische 

 Hypothese in neuerer Zeit namentlich diu'ch Zöllner i) zu einer geläufigen Vorstellung 

 erhoben woiden ist), dass unser Weltraum eine, wenn auch sehr geringe, unserer Wahr- 

 nehmung sich entziehende positive Krümmung besitze. Die grössten Kugelflächen dieses 

 Raumes erscheinen dann unserer Wahrnehmung als Ebenen. Der Raum selbst ist endlich 

 und geschlossen. Für den dritten Fall fehlt es um so mehr an einem Beispiel, da schon 

 die für ihn charakteristische Pseudosphäre sich unserer Anschauung entzieht. Wenn es 

 jedoch gelingt, die beiden ersten Ausfüllungen in überzeugender Weise nachzuweisen, so 

 wird, namentlich auf Grund der später folgenden Theorie der gegenseitigen xVbbildungen, 

 an der Richtigkeit der dritten Ausfüllung nicht zu zweifeln sem. 



a. Ausfüllung von Räumen mit positiver Krümmung. 



Die geschlossenen polyedrischen Körper können in einen geschlossenen 

 Raum von überall positiver Krümmung so übertragen werden, dass der ganze 

 Raum von einem polyedrischen Körper ausgefüllt wird. ' Es folgt dann aus 

 JSatz III, dass ein solcher Raum auf sechs verschiedene Arten voUständis: 

 und homogen mit Polyedern ausgefüllt werden kann. Es lassen sich diese 

 Ausfüllungen analog mit dem ersten Abschnitt (p. 35 tf.) durch Construction 

 grosster Kugelflächen ausführen. 



Wählen wir als Beispiel den Weltraum unter der Annahme einer kleinen 

 positiven Krümmung, so haben wir, wie oben bemerkt, statt der Kugelflächen 

 nur Ebenen zu construiren. Da nun auf der Kugelfläche nur drei Systeme 

 von Diameti-alki-eiseu, entsprechend den Eällen p = 3, 4, 5 erforderlich waren, 

 um alle fünf Bedeckungen zu erhalten, so lässt sich erwarten, dass im con- 

 stant positiv gekrümmten Raum dasselbe hinsichtlich der Fälle x = 3, 4, 5 statt- 

 findet. Da wir aber eben, anstatt Kugelflächen zu benutzen, uns auf Ebenen 

 beschränken müssen, so lässt sich in denjenigen Phallen, wo nicht die ganzen 

 Flächen, sondern luu- Theile derselben benutzt werden, nicht mit Sicherheit 

 angeben, ob und welche Ausfüllungen durch dasselbe System von Diametral- 

 kugeln entstehen. Dasselbe gilt von der Anzahl der zu einem System ge- 

 hörigen Diametralkugeln. 



1) Ueber die Natur der Kometen, Lpz. 1872. S. 305—309. 



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