442 Victor Schlegel, (p. 106) 



1) Vier grösste Kugelflächeu (Diametralkiigeln), von denen je drei ein- 

 ander rechtwinklig schneiden i), ersetzen wir durch vier Ebenen, die ein Tetraeder 

 einschliessen. Dieselben theileu den euklidischen Raum in 1 5 Theile. Rechnen 

 wir im gekrümmten Räume noch das dem ersten gegenüber liegende Teti-aeder 

 hinzu, welches bei der Verwandlung in den euklidischen Raum verloren geht, 

 so haben wir als Resultat dieser Construction die sechszehntheilige tetra- 

 edrische (hexadekaedroidische) Ausfüllung des positiv gekiiimmten 

 Raumes. 



Anm. Denkt man sich in Taf. 2, Fig. II das äussere Tetraeder entfernt und 

 die übrig bleibenden Flächen durch Erweiterung der Seiten des innersten Tetraeders 

 hergestellt, so erhält man genau die oben beschriebene Construction. 



Da in jeder Ecke 8 teti-aedrische Räume zusammenstossen , so ist in 

 der That die Bedingung des Öechszehnzells , P = 8 , erfüllt. Im Endlichen 

 liegen 4 von den 8 Ecken, 18 von den 24 Kanten, 28 von den 32 Flächen; 

 es fehlen also genau die Stücke des fehlenden Teti-aeders. 



2) Legt man durch die Kanten eines Teti-aeders nach aussen Ebenen- 

 stücke, welche sich zu dreien in einer von einer Ecke ausgehenden Geraden 

 schneiden, so theilen diese Ebenenstücke den Raum in 5 Theile und stellen 

 so die fünftheilige tetraedrische (pentaedroidische) Ausfüllung dar. 

 Damit von jeder Kante di-ei Flächen ausgehen , wie es die Bedingung x = 3 

 verlangt, müssen sich in jeder Kante drei Ebenen schneiden, von deren 6 Ab- 

 schnitten aber nur drei benutzt werden. Man überzeugt sich leicht, dass in 

 jeder Ecke vier Räume zusammenstossen und dass von den 10 Flächen und 

 den 10 Kanten keine, von den 5 Ecken nur eine fehlt, nämlich diejenige, 

 welche im gekrümmten Räume dem gegebenen Tetraeder gegenüberliegt. 



3) Durch dieselbe Consti'uction erhält man aus dem Hexaeder die acht- 

 theilige hexaedrische (oktaedroidische) Ausfüllung. Es fehlt das 



1) Ebenso wie zwei gleieligrosse Kreislinien nicht in der Ebene sich rechtwinklig 

 schneiden können, wohl aber auf der Kugelfläche, so auch zwei gleichgrosse Kugelflächen nicht 

 im euklidischen Kaume, wohl aber im constant positiv gekrümmten Räume, wenn sie Diametral- 

 kugeln desselben sind. Und wie auf der Kugelfläche je zwei von drei solchen Kreisen sich 

 rechtwinkUg schneiden können, so auch in dem entsprechenden Baume je drei von vier solchen 

 Kugelflächen. Sie begrenzen dann alle vier ein tetraedrisehes Gebilde, welches sich zum Kugel- 

 dreieck ebenso verhält, wie das gewöhnliche Tetraeder zimi ebenen Dreieck. 



