TJieorie der homogen zusammengesetzten Raumgebilde, (p. 107) 443 



dem gegebenen im gekrümmten Räume gegenüberliegende Hexaeder mit seinen 

 sämratlichen Ecken, Kanten und Flächen. 



4) Denkt man sich in Taf. 6. Fig. 24 die 24 Ebenen vom Typus 1, 

 12, 13 ins Unendliche zwisclien den Kanten 1,12 und 1, 13 erweitert, so ent- 

 steht die vierundzwanzigtheilige oktaedrische (ikosatetraedroidische) 

 Ausfüllung. Es fehlt alsdann das dem inneren Oktaeder gegenüberliegende 

 mit seinen E^ckeu, Kanten und Flächen. 



5) Es bleiben noch die beiden letzten Ausfüllungen übrig, nämlich die 

 sechshunderttheilige tetraedrische (hexakosioedroidische), und die 

 hundertzwanzigtheilige dodekaedrische (hekatonikosaedroidische). 

 Man kann sich dieselben, ebenso wie die vier übrigen, dadurch zur An- 

 schauung bringen, dass man in den entsprechenden polyedrischen Körpern das 

 Aussenpolyeder weglässt und die in seinen Ecken zusamraentrelfenden Innen- 

 kanten zur Divergenz bringt und ins Unendliche verlängert denkt. Eis ist 

 alsdann der ganze Raum stets in C Theile getheilt, indem das dem innersten 

 Körper im gekrümmten Räume gegenüber liegende Polyeder verschwindet. 



Aura. Auf dieselbe Art lassen sich auch die Bedeckungen der Kugeltläche auf 

 der Ebene darstellen, indem man von den vollständigen ijolygonalen Figuren ausgeht. 



Man kann hiernach sagen: 



VIII. Für einen geschlossenen dreidimensionalen Raum mit 

 positiver Krümmung giebt es sechs Arten vollständiger homogener 

 Ausfüllung, nämlich die fünfzellige, achtzellige, sechszehnzellige, 

 vierundzwanzigzellige, hundertzwanzigzellige und sechshundert- 

 zellige. 



b. Ausfüllung von Räumen mit verschwindender Krümmung. 



Aus den oben über den Fall 7) (N = 6, P = 8) gemachten Be- 

 merkungen folgt: 



IX. Für einen euklidischen Raum giebt es nur eine Art 

 vollständiger homogener Ausfüllung, nämlich die unendliche 

 hexaedrische (P = 8). 



Dieselbe wird am einfachsten dadurch hergestellt, dass man drei Systeme 

 paralleler Ebenen mit unendlicher Anzahl so consti'uirt, dass je drei Ebenen 

 verschiedener Systeme sich in einem Punkte schneiden. 



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