444 Victor Schlegel, (p. 108) 



c. Ausfüllung von Räumen mit negativer Krümmung. 



Wird einer der vier oifeneu polyedrischeu Körper, welche den Fällen 

 8) — 11) entsprechen, im vierdimensionalen Räume, anstatt im euklidischen 

 durch Zusammensetzung- gebildet, so brauchen die hinzutretenden Polyeder 

 nicht nothwendig immer kleiner zu werden. Es entsteht also ein offener 

 polyedrischer Körper mit unendlich vielen Theilen von endlicher Grösse. Der- 

 selbe lässt sich weder auf einen positiv gekrümmten, noch auf einen euklidischen 

 Raum übertragen, weil die Ausfüllungen dieser Räume sich auf die oben be- 

 trachteten Fälle beschränken. Der um einen solchen Körper beschriebene 

 Raum muss also ein negativ gekrümmter sein. Hieraus folgt der Satz: 



X. Für einen offenen dreidimensionalen Raum mit nega- 

 tiver Krümmung giebt es vier Arten vollständiger homogener Aus- 

 füllung, nämlich eine unendliche ikosaedrische (P=]2), eine hexa- 

 edrische (P = 20) und zwei dodekaedrische (P = 8, 20). 



4) Gegenseitige Abbildungen der Ausfüllnng eines Raumes in 



einem anderen. 



Alle drei Fälle der Ausfüllung von Räumen zeigen das Eigenthümliche, 

 dass die Räimie in Polyeder von endlicher Grösse zerfallen. Anders aus- 

 gedi-ückt: Jeder der drei verschiedenen Räume hat gerade den nothwendigen 

 und hinreichenden Inhalt für die Ausfüllung durch gewisse Polyeder von end- 

 licher Grösse. Dieser Inhalt lässt sich vergrössern durch Expansion und ver- 

 kleinern durch Contraction des Raumes. Erstere tindet statt, wenn die Krüm- 

 mung des Raumes abnimmt, letztere, wenn sie zunimmt. Abnahme der Krüm- 

 mung eines Raumes ist also gleichbedeutend n)it Inhaltsgewinn, Zunahme der 

 Krümmung mit Inhaltsverlust. — Könnte man nun versuchen, die vollständige 

 Ausfüllung eines Raumes in einem Räume mit geringerer Krümmung durch 

 Zusammensetzung nachzubilden resp. abzubilden i) , so würde sich ein Ueber- 

 schuss an Inhalt ergeben, welcher bewh'kt, dass die Grösse der hinzutretenden 

 Polyeder in's Unendliche zunimmt. Dieser Fall wird eintreten, wenn die Aus- 



') Hierbei lassen wir nui' die drei allgemeinen Krümmungsunterschiede -(-, 0, — zu. 



