Theorie der homogen zusammengesetzten Raumgebilde, (p. 113) 449 



3. messnng im (coustant) positiv gekrüniiuten Räume (M3+). 



Der (constant) positiv gekrümmte Raum gestattet sechs verschiedeue 

 Arten vollsüindiger homogener Ausfiillung; raitliin giebt es ebensoviele Mass- 

 SYsteme darin. Es sind dies folgende: ]) — 3) Drei Systeme der Tetraedrirung, 

 4) — 6) je ein System der Oktaedririing, Hexaedrirung und Dodekaedrirung. 

 Die Masseinheit ist in diesen Fällen resp. der 5'% 16'^ 600^'", 24''^ 8'% 120^'" 

 Theil des Raumes. Man wird diese Masseinheiten mit der Raumeinheit da- 

 durch in Beziehung setzen, dass man den n'™ Theil desjenigen Raumes, dessen 

 Radius die Längeneinheit ist, als Masseinheit betrachtet. Nun ist das Volumen 

 (der dreidimensionale Inhalt) des constant positiv gekrümmten Raumes vom 

 Radius r gleich 2r^n^ ^), daher, wenn der Radius 1 ist, 2 7r2. Mithin sind 



2 5T* 71^ JT^ TT^ /[^ 7t^ 



die sechs Einheiten —r- , -^ , 3^ ' ^2 ' T ' ^ ■ ^^ """ ^" *^^" Gebieten 

 mit verschwindender Krümmung als Einheiten die Zahlen 1 , 1 2, 1 3 . . auf- 

 treten, so fordert die Analogie, dass in den Gebieten mit constanter positiver 



Krümmung die Potenzen von „ als Masseinheiten gewählt werden, nachdem 



TT 2 JT 



die anderen Werthe ^ und ^ durch die alleinige Annahme einer einzigen 

 Reihe von Masssystemen beseitigt sind. Es findet dabei der Umstand statt, 

 dass jede Potenz von ^ ii^ zwei aufeinander folgenden Gebieten als Masseinheit 



auftritt, z. B. 2 iii> zwei- und dreidimensionaleu, -^ im vier- und fünfdimen- 

 sionalen (vgl. die in der Fussnote erwähnte Tabelle). Unter den sechs oben 

 genannten Einheiten ist also die fünfte, -. , zu wählen. Es entspricht hier- 

 nach dem Würfel in der Hexaedrirung des euklidischen Raumes dasjenige 

 Hexaeder, welches als Theil der hexaedrischen Ausfüllung der achte Theil des 

 constant positiv gekrümmten dreidimensionalen Raumes ist. 



^) Hoppe, Einfachste Sätze aus der Theorie der mehrfachen Ausdehnungen. Grunert's 

 Archiv, Bd. 64, S. 203. Man findet dort in der Tabelle für n =^ 4 den Werth ß ;= 8R-, 

 d. h. das Volumen des einen Theil des vierdimeusionaleu Eaumes (M^") begrenzenden drei- 

 dimensionalen constant positiv gekrümmten Raumes (M3+) vom Radius 1 ist 8 E^. Setzt man 

 R ^ — , so erhält man den obigen Werth. 



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