450 Victor Schlegel, (p. 114) 



Anra. Nach Analogie mit den Gebieten der Ebene und des Raumes hätte man 

 erwarten sollen, dass diejenigen Gebilde, in welche der positiv gekrümmte Raum durch 

 ^^er aufeinander senkrechte grösste Kugelflächen zerfällt, nämlich die sechszehnten Theile 

 als Einheiten auftreten wüi-den (vergl. die Anm. p. 48). Es wären dies la-umm- 



ilächige Tetraeder gewesen. Ein Blick auf die in der letzten Fussnote erwähnte Tabelle 



zeigt jedoch, dass (fiii- ß) statt der Reihe 4, 8, 16, 32, . . . die Reihe 4, 8, 8, 32, 8, ^ 



auftritt, wodurch die Abweichung erklärt ist. 



3. messniig im coustant negativ gekrünimteii Räume (1M7). 



Da dieser Raum vier Arten voUstiliuliger homogener Ausfüllung besitzt, 

 so giebt es ebenso viele Masssysteme, nämlich je eines der Ikosaedrirung und 

 Hexaedrirung und zwei der Dodekaedriruug. 



Anm. Die Art und Weise, me wir im Vorstehenden zu vierdimensionalen Ge- 

 bilden gelangt sind, giebt zu einer nicht unwichtig erscheinenden Bemerkung Anlass Es 

 ist in verschiedenen Fällen bemerkt worden, dass Gegenstände der ebenen Geometrie am 

 leichtesten und naturgemässesten sich aus räumlichen Beziehungen ableiten lassen (z. B. 

 die Kegelschnitte). Entsprechendes würde sich von Gegenständen der räumlichen Geo- 

 metrie erwarten lassen, wenn wir eine vierdimensionale Geometrie hätten. Aber ebenso, 

 wie die Thatsachen der ebenen Geometrie uns nicht gerade durch UnvoUkommenheit 

 auffordern, sie vom Standpunkte des dreidimensionalen Raumes aus begreifen zu lernen, 

 so bedürfen auch die Thatsachen der räumbchen Geometrie keiner Erklärung vom Stand- 

 punkte des vierdimensionalen Raumes. Von dieser allgemeinen Wahrnehmung bilden 

 nun die homogenen polygonalen Figuren und polyedrischen Körper eine bemerkenswerthe 

 Ausnahme. Denn die ersteren zeigen ihre wahre Bedeutung erst, wenn man sie als Ab- 

 bildungen der homogenen Polyeder des Raumes und als Bedeckungen verschiedenartig 

 geki-ümmter Flächen im Räume auffasst, obwohl ihre ganze Entstehungsweise durchaus 

 der ebenen Geometrie angehört. Und ebenso wird die Bedeutung der letzteren Gebilde 

 erst dann klar, wenn man sie als Abbildungen homogener vierdimensionaler Gebilde und 

 als Ausfüllungen verschiedenartig gekrümmter dreidimensionaler Räume in der Mt" auf- 

 fasst, obwohl ihre ganze Entstehungsweise mit dem vierdimensionalen Räume nichts zu 

 schaffen hat. Ja selbst die Formeln weisen entschieden auf den letzteren als die wahre 

 Heimath dieser Gebilde hin; denn überall drängt sich die Grösse C-|-l ein und weist 

 auf die UnvoUkommenheit der polyedi-ischen Köi-per im euklidischen Räume hin, und 

 auf die Nothwendigkeit einer Ergänzung durch ein letztes Polyeder, als welches im drei- 

 (Umensionalen Räume nui- der den polyedrischen Körper umgebende unendliche Raum 

 angesehen werden kann, während im vierdimensionalen Räume dieser letzte Körper von 

 gleicher Beschaffenheit mit den übrigen ist. Ein Bück auf die Zahlenwerthe von C, 

 E, K, S, verglichen mit C, zeigt dasselbe. 



