452 Victor Schlegel, (p. 116) 



Sohlussbemerkung. 



Es sei schliesslich noch einiger neuerer Arbeiten verwandter Art von 

 anderen Autoren gedacht. 



Herr R. Hoppe hat 1879 in einer Arbeit „p]iufachste Sätze aus der 

 Theorie der mehrfachen Ausdehnungen" (Grunert's Archiv Bd. 64, S. 189 — 213) 

 die n-dimensionalen Inhalte des „n-dehnigen (n + 1) ecks" (§ 4) und des „regel- 

 mässigen n-dehnigen (n + 1) ecks" (§ 5) bestimmt. Für das letztere findet er 

 den Werth 



T — i l/ " + ^ 

 '' n! P 2» ■ 



Für n= 2 3 4 



(gleichseitiges Dreieck) (reguläi-es Tetraeder) (reguläres Fünfzeil) 

 folgt hieraus 



J = i 1/3- i |/2 ^ V5-. 



Ferner sieht man, dass das Dreieck, das Teti'aeder und das Fünfzeil 

 die ersten Glieder einer Reihe von Gebilden sind, zu welcher jedes Gebiet von 

 irgendwelcher Diniensionenzahl ein Glied liefert. 



Herr H. Scheffler hat 1880 in seinem Buche „Die polydimensionalen 

 Grössen und die vollkommenen Primzahlen" (Braunschweig bei Vieweg) in 

 § 14 ausser jener ersten Reihe noch eine zweite aufgestellt, deren Anfangs- 

 glieder das Quadrat, der Würfel und das reguläre Achtzell sind, und die eben- 

 falls ins Unendliche fortgesetzt werden kann. Die Zahlen der Grenzgebilde 

 werden durch Formeln mit folgendem Inhalt bestimmt: 



In der mit dem Dreieck beginnenden Reihe ist für das n-dimensionale 

 Glied die Anzahl der r-diraensionalen Grenzgebilde gleich (n+1) "*'' + ", d. h. 

 gleich dem (r+1)'™ Binomialcoefticienten der Potenz n -1- 1. 



In der mit dem Viereck beginnenden Reihe ist für das n-dimensionale 

 Glied die Anzahl der r-dimensionalen Grenzgebilde gleich 2 " ~ "^ . n ^ 



