Theorie der homogen zusammengesetzten Raumgebüde. (p. 117) 453 



Wird die letztere Reihe, statt vom Quadrat, vom Rechteck aus gebildet, 

 also die Bedingung- gleicher anstossender Kanten (a, b, . .) weggelassen, da- 

 gegen die Bedingung des Senkrechtstehens der Kanten beibehalten, so ist die 

 Länge aller Kanten 2°"' (a + b + c...), der Inhalt aller Grenzflächen 2°^^ 

 (ab + ac + bc + ...); allgemein der Inhalt aller r-dimensionalen Grenzgebilde 

 gleich dem 2"'~''-ten Theil des Coefticienteu von x°~' in derjenigen Gleichung 

 n'™ Grades, deren Wurzeln die Zahlen a, b, c . . . sind. Die algebraische Auf- 

 gabe: die Wurzeln einer Gleichung n'™ Grades aus ihren Coefficienten zu be- 

 stimmen, gestattet also die geometrische Einkleidung: ein „rechteckiges" n-dimen- 

 sionales Gebilde aus den gegebenen Gesammtinhalten seiner verschiedenen Be- 

 grenzungen zu construiren. Die Kanten dieses Gebildes sind die Wurzeln der 

 Gleichung. 



Die vollständigste Behandlung des Problemes der regulären n-dimen- 

 sionalen Gebilde hat endlich Herr W. J. Stringham 1880 in der Abhandlung 

 gegeben „Regulär Figures in n-dimensional Space". (American Journ. of Math. 

 Vol. III, p. 1 — 1 4.) Die Bestimmung dieser Gebilde hängt ab von folgenden Sätzen : 



1. Die Zahl der Kanten eines regulären n-dimensionalen Winkels muss 

 gleich sein der Zahl der Ecken eines regulären (n — 1 ) - dimensionalen Ge- 

 bildes. (Hierdurch werden die Werthe von P bestimmt.) 



2. Die Zahl der (n — 1) -dimensionalen Grenzgebilde, welche an einer 

 Ecke eines regulären n-dimensionalen Gebildes zusammenstossen, muss kleiner 

 sein, als die Zahl derjenigen (n — 1) -dimensionalen Grenzgebilde, welche um 

 einen Punkt im (n—1) -dimensionalen Räume so heruragelegt werden können, 

 dass je zwei benachbarte ein (n — 2)-dimensionales Grenzgebilde gemeinsam 

 haben, (Hierdurch werden unter den 1 1 Gebilden des vierdimensionalen Raumes 

 die 6 endlichen ausgesondert. Diese Regel gilt aber nur von regelmässigen, 

 nicht von homogenen Gebilden im Allgemeinen.) 



3. In einem regulären n-dimensionalen Gebilde müssen alle Grenz- 

 gebilde von gegebener Dimensionenzahl begrenzt sein von gleich vielen Grenz- 

 gebilden einer anderen Dimensionenzahl. (Hierin liegt die reciproke Beziehung 

 je zweier Gebilde.) 



Hiernach werden die 1 1 regulären Gebilde aufgestellt, die unendlichen 

 (als „imaginär" bezeichneten) ausgeschieden und die übrigen constrairt (durch 



