454 Victor Schlegel, (p. 118) 



successive Zusammenlegung- von Polyedern um einen Punkt herum, beim 

 120-Zell um ein Polyeder herum). Wenn bei diesem Verfahren die letzten 

 P Körper wegbleiben, so werden in jeder Aussenecke des so gebildeten poly- 

 edrischen Körpers so viele Körper zusammenstossen, als in den blossgelegten 

 Ecken, wenn man sich die ersten P Körper wegdenkt. Werden dann die 

 letzten P Körper noch hinzugefügt, so darf jeder nur eine einzige neue Ecke 

 liefern (welche Ecken zusammen der innersten p]cke entsprechen). An allen 

 übrigen Anssenecken müssen dann P Körper liegen. Dieses namentlich für 

 das Sechshundertzeil nothwendige Kriterium für die Beendigung des Zusammen- 

 setzungs-Verfahrens fehlt. Beim Hiuidertzwanzigzell wird der Umstand, dass 

 die innere und die äussere Begrenzung der dritten Schicht gleich gestaltet 

 sind (S. d. Fussnote auf p. 92) dazu benutzt, um zu zeigen, dass zwei solcher 

 zusammengesetzten Körper, der eine mit, der andere ohne jene Schicht, gleich- 

 gestaltete Aussentlächen haben und sich zu einem vollständigen Körper er- 

 gänzen. Dieser Beweis der P^ndlichkeit ist vollständig. Aehnlich ist das ^'er- 

 fahren bei der Bildung des Vierundzwanzigzells. 



Im fünfdimensionalen Räume giebt es wiederum elf Fälle regulärer 

 Bildungen ^), nämlich 



II) 

 120, 

 600. 



Hiervon geben die Fälle 1) — 3) endliche, 4) — 6) unendliche Gebilde 

 mit endlicher, 7)— 11) unendliche Gebilde mit ins Unendliche abnehmender 

 Grösse der Grenzgebilde. Die entsprechenden Paare sind 2) und 3), 5) und 6), 

 7) und 8), 9) und 10); die übrigen Ge))ilde entsprechen sich selbst. 



Die Fälle 1) und 2) gehören in die bereits oben erwähnten, mit dem 

 Dreieck und Viereck beginnenden Reihen. Der Fall 3) gehört in eine dritte 

 Reihe, deren erstes Glied wieder das Viereck, deren zweites das Oktaeder ist. 

 Aus drei derselben Mannigfaltigkeit angehörenden Gliedern dieser drei Reihen 

 können in der nächsthöheren Mannigfaltigkeit nur wieder drei endliche und 



1) Einen zwölften (N = 600, P = 120) hat Herr Stringham nachträglich als irr- 

 thümlich aufgestellt erkannt. 



