Tlieorie der homogen zusammengesetzten Baumgebilde. (p. 119) 455 



ein unendliches reguläres Gebilde hervorgehen, und zwar beträgt die Anzahl 

 der Grenzo-ebilde im n-dimensionalen Räume tür ein Gebilde der ersten Reihe 

 n + 1 , tür eins der zweiten 2 n , für eins der dritten 2°. Da nun im tünf- 

 dimensioualen Räume ausser den Gliedern jener drei Reihen keine endlichen 

 regulären Gebilde vorkommen, so folgt daraus, dass auch in allen folgenden 

 Räumen nur diese drei Arten endlicher regulärer Gebilde existiren. Da ferner 

 in jedem Räume eine unendliche Ausfüllung existirt, für welche N = 2n, 

 P = 2" ist, so folgt aus den Ausführungen des Herrn Stringham, dass auch 

 eine zusammenhängende Reihe von Masseinheiten existirt, deren erste Glieder 

 die Strecke, das Quadrat, der Würfel und das reguläre Achtzeil sind. 



Da die Ausführungen des Herrn Stringham ebenso auf homogene wie 

 auf reguläre Gebilde Anwendung linden, so ist hierdurch auch die Frage nach 

 der Existenz endlicher homogener Gebilde in höher diniensionirten Räumen 

 beantwortet. 



Eine Fortsetzung seiner oben er\Aähnten Untersuchungen hat sodann 

 Herr Hoppe 1881 geliefert in der Abhandlung „Regelmässige linear begrenzte 

 Figuren von vier Dimensionen" (Grunert's Archiv Bd. 67, S. 29 — 44). Darin 

 findet sich auch die oben in Satz H (p. 52) gegebene Erweiterung des Euler- 

 schen Polyedersatzes. (Auch von Herrn Durege angegeben in der Aljhandlung 

 „Ueber Körper von vier Dimensionen", Sitzungsberichte der Kais. Akad. der 

 Wissensch. zu Wien, Bd. 83.) Die Bestimmung der regulären vierdimensio- 

 nalen Gebilde liefert Resultate, welche mit denen des Herrn Stringham 

 übereinstimmen. Die Methode weicht jedoch darin ab, dass Herr Hoppe 

 auch die Zellgewebe des Sechshundertzells und des Vierundzwanzigzells durch 

 Zusammenlegen von Polyedern um ein Polyeder herum bildet (statt wie Herr 

 Stringham um einen Punkt herum.) — Vgl. ferner desselben Verfassers Ar- 

 beiten in Grunert's Archiv: Ueber den Winkel von n Dimensionen (Bd. 66, 

 S. 448); Berechnung einiger vierdehniger Winkel (Bd. 67, S. 269 — 290); 

 Innere Winkel aller regelmässigen linear begrenzten Figuren von vier Dimen- 

 sionen (Bd. 68, S. 110 — 112); Ueber die Stellung der Ebene in der Vier- 

 dimensionengeometrie (Bd. 68, S. 378 — 379). 



Eine Arbeit von Herrn K. Rudel „Vom Körper höherer Dimension" 

 (Kaiserslautern 1882) gelangt nur bis zur Aufstellung der beiden ersten 

 (Tetraeder und Hexaeder enthaltenden) Reihen von Gebilden. 



