26 A. von Braunmiihl, [26] 



sin <p , sin 9 



^'.„7" =- ^\A^' =- (sin// — sin /^") , 



' cos?' ^ ' C0S9>' 



also folgt 



AB sin 9> sin//' — sin/«" 



A'B' cos <jp D ' 



und da dieser Ausdruck nach 4. der Sinus von a ist, so ist aus A A'E'R 

 (Fig. 6): 



< AB'R ^ < X. 

 Also erhält man schliesslich: 



a" = y — x= < A'B'D' — < A'B'R = < BB' C = < B' CO. 



Man sieht also, dass die sämnitlichen anscheinend so complicirten Formeln 

 unmittelbar aus der Projektion herausgelesen werden können. 



Dasselbe ist mit einer Formel der Fall, die sich in den Regeln des 

 Ibn Juuos wiederholt findet ') und die später zur Erfindung der sogenannten 

 „Prosthaphäretischen Methode" geführt hat, welche Jahrhunderte 

 lang vor Erfindung der Logarithmen zur Vereinfachung trigonometrischer 

 Rechnungen diente; ich meine die Grieichung: 



(XI) cos 9> cos ^ ^\ (cos {'f — ö) + cos (9^ + ö)). 



Um diese geometrisch abzuleiten, beachte man, dass in Fig. 7, die 

 die Projektion der Fig. 3 auf den Meridian darstellt, < DCZ = (p — rf, also 

 DD- = cos {<P — ö) und < D"CZ' = (p + S, also VI= cos (<? + f>) ist. Zieht 

 man noch D"D"' |j NS, welche die Verlängerung von DD' in /' schneidet, 

 so ist DI' = 003(95 — rf) + cos(<iP + ^), und wenn BX \\ NS gezogen wird, so 

 ist DX --= \ (cos {<P — <5» + cos {9 + ö)). 



Aus der Aehnlichkeit der Dreiecke DBX und ECH folgt aber 



omit geht diese Gleichung unmittelbar in 



1) Vgl. z. B. Delambre a. a. 0. p. 108. 



