[29] Beiträge zur Geschichte der Trigonometrie. 29 



der Projektionsmethode heraus als einen für jedes sphärische Dreieck gütigen 

 Satz formulirt.') 



Ich erwähnte schon früher, dass Regiomontan in einer Note zu 

 seiner Ausgabe des Albategnius den fehlenden Beweis füi unsere 

 Formel VIII § 2 unter Benutzung der Projektion mit Geschick restituirte, 

 und genau dasselbe Verfahren und fast die nämliche Figur verwendet er 

 zum Beweis seines zweiten Satzes in lib. V, so dass kein Zweifel bestehen 

 kann, er sei bei den Stiulien über Al-Battäni zu jenem Lehrsatze ge- 

 führt worden.-) Der Wortlaut, in dem Regiomontan den Satz ausspricht, 

 fuhrt in unserer Bezeichnung auf folgende Gleichung: 



(XII) sinvers A : (sinvers a — sinvers {b — c)) ^— r^ : sin 6 . sin c, 



wobei r ^ sinus totus = dem Radius der Kxigel ist, auf welcher das A ABC 

 mit den Seiten a, 6, c liegt. 



Zur Ableitung dieser Gleichung, die identisch ist mit der in X an- 

 geführten , giebt er zwei Figuren , die die Kugeloberfläehe selbst und die 

 Projektion derselben auf eine Diametralebene (Meridian) darstellen. 



Wir bedienen uns zur Darstellung seiner Ableitung unserer Fig. 3, 

 die seine beiden Figuren vereinigt. 



Sei t\ ZP2: das fragliche Dreieck, so folgt, wenn man ^'L\SN 



zieht, die ZC in K trifft, 



arc ZD — ^ arc P2, — arc PZ^ 



SiVcZL = arcZ^, arc EQ = < ZP2 

 und: 



1. PQ' = sinvers {£Q) =. sinvers (< ZP^). 



Fällt man noch niFl CZ, PU L CZ und DT l^LM, so ist: 



ZW= sinvers (Z)Z), ZK — sinvers (ZZ) = sinvers (Z^); 



ferner folgt: 



2. DT= WK = ZK— ZW= sinvers (Zi^) — sinvers {DZ) 

 und : 



1) Gerade dieses Verdienst, das ich höher schätze als manches andere, findet sich 

 nirgends in gebührender Weise gewürdigt. — In der ganzen vorhergehenden Literatur konnte 

 ich nirgends eine Stelle finden, die beweisen würde, dass schon vor ihm irgend jemand auf 

 diesen Gedanljen kam. 



2) Hierfür spricht auch der an dieser Stelle zum ersten mal in den Büchern über 

 die Dreiecke auftretende Sinus versus. 



