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herstammt, dem wir noch öfter begegnen werden, hiervon abweicht. Auch 

 Regiomontan hat diese Sätze, da sie wiederholt zur Anwendung kommen, 

 von Ptolemäus herUbergenommen und auf dieselbe Weise wie dieser, nur 

 mit Einführung der Sinusse statt der Sehnen, behandelt. 



Ueber das vierte Buch wollen wir uns nicht weiter verbreiten; für 

 uns bietet nur das Faliitum Interesse, dass hier der Satz des M e n e 1 a u s 

 auf das sphärische Vierseit ausgedehnt und für alle möglichen 

 Fälle bewiesen wird. Die Beweise selbst, die sich in der Methode consequent 

 an die Betrachtung des ebenen Vierseits anschliessen, liegen unserem Ziele 

 ferner. Dagegen müssen wir beim fünften Buche etwas verweilen. Hier 

 giebt Nassir Eddin zunächst eine eingehende Diskussion aller wesentlich 

 verschiedenen Gestalten sphärischer Dreiecke , indem er die beiden Ein- 

 theilungsprinzipe: nach Seiten und Winkeln richtig unterscheidet. In jedem 

 Falle ergeben sich 10 verschiedene Grundtypen, welche durch Figuren er- 

 läutert und schliesslich in einer Tafel vereinigt werden.') Hierauf wendet 

 er sich zur Entwickelung der Hilfsmittel zur Berechnung sphärischer 

 Dreiecke. 



Die Methode, welche sich des Satzes von Menelaus bedient, be- 

 zeichnet er als „die Methode der Alten'' und fährt dann fort:-) „Die 

 Modernen aber haben, sei es aus Scheu vor der Untersuchung der ver- 

 schiedenen Verhältnisse und ihrer speziellen Fälle, sei es, um Weitläufig- 

 keiten zu vermeiden, welche der Gebrauch der zusammengesetzten Ver- 

 hältnisse in der Praxis nach sich zieht, andere Figuren ausgedacht und 

 studiert, welche an Stelle des Viereckes treten und denselben Nutzen bieten, 

 wie dieses , ohne dass man nöthig hätte , auf zahlreiche Unterscheidungen 

 und auf zusammengesetzte Verhältnisse einzugehen". Hierbei hat er zwei 

 Methoden im Auge, die eine wurde von den Arabern als die Methode der 

 „Ersatzfigur", die andere als die Methode der „Schattenfigur" (Tangenten- 

 figur) bezeichnet. 



Die „Ersatzfigur" (d.h. die den Satz des Menelaus ersetzende Figur) 

 ist nichts anderes als der Sinussatz dex sphärischen Trigono- 

 metrie. Wir müssen hier einiges über die Geschichte dieses Satzes an- 



"o"- 



') a. a. 0. p. 136. 

 2) a. a. 0. p. 114. 



