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die er als dritte Folgerung- ableitet und als wenig- verwendbar bezeichnet, 

 indem sie zur Berechnung- eines Stückes die Kenntniss dreier anderer 

 verlange. 



Hiermit verlässt er die Ersatzfigur und wendet sich zum zweiten 

 Hauptprinzip der „Modernen", zur „Schatten-" oder „Tangentenfigur", deren 

 Erfindung nach der Aussage Albiruni's Abü'l Wafa's unbestrittenes 

 Verdienst sei (p. 163).^) 



Zunächst definirt er die Tangente (erster Schatten) und die Co- 

 tangente (zweiter Schatten) in der noch heute vielfach gebräuchlichen Weise 

 als Tangenten des Kreises und stellt die diese beiden Funktionen verbindende 

 Grundgleichung auf. Dann beweist er den für jedes rechtwinklige Drei- 

 eck ^^C (Fig. 8), wo <B ^ qo" ist, giltigen Satz: 



sin AB 



und leitet hieraus, ähnlich wie die Regel der vier Grrössen aus dem Sinus- 

 satze, die Relation: 



sin^^ tg^C ^yjj^ 



sin^^' xgB'C 



ab, die er folgenderraasseu in Worten ausspricht: „Die Sinusse der Bögen 

 verhalten sich wie die Tangenten ihrer Breiten" (p. 170). Diese Sätze der 

 „Schattenfigur" fand nun Carra de Vaux thatsächlich im Alraagest 

 Abü'l Wafa's; ich werde aber nachweisen, dass der letztere bereits in 

 der Sphärik des M e n e 1 a u s , nur natürlich ohne Benutzung der Tangenten 

 vorkommt, während der erstere wieder implizite im Almagest steht. In 

 Prop. V im HI. Buche*) heisst es nämlich: Hat man die beiden Dreiecke 

 ABG und DEZ (Fig. 9 a und b), die bezüglich bei A und D rechtwinklig 

 sind und in den Winkeln G und Z übereinstimmen, und legt man das 

 letztere Dreieck so auf das erstere, dass diese AVinkel sich decken, ver- 

 längert dann die Bögen AB und DH (in Fig. 9 a) bis sie sich im Pol H 



•) Zur Erfindung der Tangenten kamen die Araber in der Gnomonik, daher der Name 

 , Schatten"; schon Albattäni hat eine Schattentafel, d.h. eine Cotangententafel berechnet, um 

 aus dem Schatten die Sonnenhöhe direkt zu finden, aber als Funktionen führt sie erst Abü'l 

 Wafä ein. 



2) Menelaus. Edit. Maurolykus c. 40". 



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