[27] Nassir Eddin Tüsi und Regiomontan. 57 



bg = bn + gh, also an + ah = ab + ag — bg bekannt , also auch 



ah = \{ab + ag — bg); 

 da aber auch < eah ^ ~ < bag bekannt ist, so folgt aus dem rechtwinkligen 

 Dreieck ahe die Kenntniss von ea und eh = r. Da ferner die Hälfte des 

 Dreiecksumfanges bekannt ist, so ergiebt sich hieraus der Inhalt desselben 



( A ^^{ab + bg + ga)\ und hiermit die Höhe ak (=z j. Weiter hat man 



jetzt am ^^ ak — km, und somit aus tsmae den Winkel ;««■«?, der wieder die 

 Kenntniss von Winkel bak und seines Complementes < b vermittelt. Da 

 hieraus auch Winkel g als bekannt folgt, so ist die Aufgabe wieder auf die 

 beieits citirte zurückgeführt. 



Einfach und elegant kann man namentlich die zweite Lösung gewiss 

 nicht nennen, doch gehört die Aufgabe auch zu den mit seinen Hilfsmitteln 

 entschieden schwierig zu lösenden Problemen, und Regiomontan zeigt 

 bei ihrer Behandlung immerhin bemerkenswerthe geometrische Gewandtheit. 



Um zu zeigen , wie Regiomontan das Fehlen des Cosinussatzes 

 durch geometrische Construktionen zu ersetzen versteht, theile ich noch die 

 Lösung der Aufgabe 25 mit: „Aus gegebener Basis und Höhe, sowie dem 

 Gegenwinkel der ersteren die beiden anderen Seiten zu bestimmen". In 

 Fig. 14 sei gegeben bg , ad und <- bag. Es wird der dem Dreieck um- 

 schriebene Kreis gezeichnet; fällt man dann bk J^ga, so ist ba:bk bekannt, 

 da < bak gegeben ist. Nun ist aber 



ba : bk — (ba . ag) : {bk . ag), und da bk .ag ^= 2 A abg = bg . ad 

 bekannt ist, so ist aus dieser Proportion auch ba.ag bestimmbar. Da man 

 aber auch ad kennt, so folgt hieraus die Kenntniss des Durchmessers pq 

 (aus A abd^- A agz ist nämlich ba:ad = az:ag u. s. w.) und des Radius eg, so- 

 wie me^=\pq — ad = nd. Hiermit aber an^^nd-\-da und dann aus dem 

 1 echtwinkligen l\ ane auch >ie ^- dm. Subtrahirt, resp. addirt man dies zu 

 bm^=\bg, so bleiben die Abschnitte -^a' und dg als bekannt übrig, die mit 

 der gegebenen Höhe die Kenntniss der Seiten vermitteln. 



Wir würden die Aufgabe mittelst des Cosinussatzes direkt etwa so lösen: 

 aö- -f ag- = bg- -\-2ab. ag cos «, aber ab .ag .sina ^ 2 Is abg = bg.ad, hieraus 



bg . ad 



ab .ag = — ;— - und somit ab^ + acr^ = bs^"^ + ad . (^o . cts: «. 



sin <* ö i) ö o . 



