62 A. von Braunmühl, [32] 



gleich zu sprechen kommen, einschlägt, beruht auf der Theilung des Drei- 

 eckes durch einen lothrechten Bogen in zwei rechtwinkelige, mit deren Hilfe 

 dann die einzelnen Stücke bestimmt werden. Dabei muss erwähnt werden, 

 dass er in den Sätzen 29 und 30 auch die Doppeldeutigkeit des Falles 

 behandelt, wo zwei Seiten und ein Gegenwinkel bekannt sind, während ihm 

 dieser Umstand im polaren Falle zweier Winkel und einer Gegenseite 

 (Satz 32) entgeht. Wir wissen, dass Nassir Eddin die Doppeldeutigkeit 

 in keinem der beiden Fälle bemerkte. Ferner hebe ich noch die Lösung 

 der Aufgabe hervor, aus drei W^inkeln die Seiten zu berechnen, über die 

 ich mich schon bei Nassir Eddin verbreitet habe. Regiomontan löst 

 sie in Satz 33 aber nicht, wie dieser, mittelst des Supplementardreieckes, 

 denn die Kenntniss desselben ging ihm ab, sondern auf folgende ihm voll- 

 kommen originelle Weise. Fällt man in dem Dreieck adg (Fig. 15) Bogen 

 ad L dg , so ist nach Satz 20, dem einzigen als sein Eigenthum erkannten 



der 5 Hauptsätze, 



sin «2 cos ö 

 sin a^ cos^ 



Da aber das letztere Verhältniss bekaTint ist, so kennt man hieraus 

 das Verhältniss der Sinusse der Winkel a^ und «o, und da auch ihre Summe 

 a^ + a, — a gegeben ist, so kann man nach den lib. IV, 21 — 24 angeführten 

 Sätzen des Ptolemäus (vgl. S. 61) < «i und < a.^ selbst finden. Da man 

 jetzt in den beiden rechtwinkligen Dreiecken alle Winkel kennt, so ist die 

 Aufgabe auf die in 26 bereits mit der Relation von Dschfibir behandelte 

 zurückgeführt. 



Ohne Zerlegung in rechtwinklige Dreiecke und auf originelle Weise 

 wird in Satz 34 das Problem behandelt, die Winkel eines Dreieckes aus 

 den drei Seiten zu berechnen. Es wird die Aufgabe darauf reduzirt, einen 

 Winkel des sphärischen Dreieckes mittelst orthographischer Projektion durch 

 seinen Neigungswinkel am Kugelmittelpunkt zu bestimmen. Sei (Fig. 16) 

 in A aög Winkel a gesucht , so ergänzt man zunächst ag und ab zu Qua- 

 dranten und verbindet das Centrum z der Kugel mit den Endpunkten d und 

 e derselben, sowie mit a. dann ist <dze^^a. Sei gliLze; bk Lzd; gl Laz\ 

 bml az, also parallel mit dz, dann ist hz =^ lg ^ ^vi\ag\ kz =- hn ^- sin«($ 

 bekannt. 



