[o] Zur Geschichte der Geometrie mit eonstanter Zirkelöflfnimg. Vi3 



und stereometrische Aufgaben unter Benutzung nur von Lineal und in ge- 

 gebener Weite festgestelltem Zirkel zu lösen. Diese Ansicht stützt sich 

 auf eine Stelle des Pappus: ed. Hultsch III, p. 1074 (welche Stelle die 

 einzige in der griechischen Literatur ist, die darauf deutend aufgefasst 

 werden kann); und in der That scheinen die dort erwähnten „jigoß/^rifiaza Ivl 

 öiuoTTj/iuri ygafföfttva". die mit einem Intervall construirten Aufgaben, auf 

 den ersten Blick im Sinne Herrn Cantor's verstanden werden zu müssen. 

 Bei genauer Ueberleguug des Zusammenhanges, in dem jene Worte sich 

 finden, stösst man jedoch bei dieser Auifassung auf unlösbare Widersprüche. 

 Denn die so bezeichneten Aufgaben werden als Beispiele für „jtQoßXrmara 

 dpyartxß" angeführt , als deren Charakteristikum bezeichnet wird, dass sie 

 „der geometrischen Rechtfertigung entbehren" („t?]? yicofttTQtxTJi; i^ovöiag 

 atfaiQovfiiva"). Sie Stehen also als solche im Gegensatz zu rein geometrisch 

 c n s t r u i r b a r e n und beweisbaren. Erinnert man sich daran , dass 

 die Grriechen nur Constructionen mit Zii'kel und Lineal als rein geometrische 

 gelten Hessen, so wird man geneigt sein, als die beiden Arten von Auf- 

 gaben, die Pappus als ..organische" bezeichnet, erstens solche zu betrachten, 

 die dieser constructiven Bedingung nicht genügen und sich nur mit anderen 

 Werkzeugen (oQyavov) ausführen lassen (z. B. die Würfel Verdoppelung und 

 Triseetion des Winkels), — zweitens solche, deren Construction der obigen 

 Bedingung zwar genügt, deren Richtigkeit aber nur durch Probiren (jctiga 

 Pappus p. 1096, 19), nicht durch mathematischen Beweis {egovaia ytcofitzQix?]) 

 bestätigt wurde. Zu der letzteren Art gehört die von Pappus als Beispiel 

 gegebene Aufgabe, p. 1074 — 1084, deren Beweis erst Commandinus im 

 16. Jahrhundert gab. 



Keinesfalls aber erscheint es möglich, die Aufgaben mit einer Zirkel- 

 ölfnung als organische und solche, die nicht rein geometrisch genügend 

 wären , anzusehen , da einerseits sich die Beweise für die Richtigkeit der 

 Lösungen äusserst leicht geben lassen, andrerseits sie die Grenzen des con- 

 structiv Elrlaubten nicht einmal erreichen, geschweige denn überschreiten. 

 Daher schlägt Hultsch vor, entweder die ganze, dunkle und vielleicht ver- 

 derbte Stelle zu streichen, oder die Worte „tvl 6iaöTr)iiaxi" (mit einem 

 Intervall) in „xavoiim nvl" (mit einem Maassstab oder beweglichen Lineal) 

 zu emendiren. Er denkt dabei auch an Probleme wie die Würfelverdoppelung. 



