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3. Einen Winkel ABC zu halbiren. 



Die Construction geschielit wie bei Euclid und verlangt nur An- 

 wendung der gegebenen ZirliclöfFnung. 



Die Vielecksconstructionen , die Abül Wefa mit einer Zirkelötfnnng 

 durchführt, sind die folgenden: 



1. Das Fünfeck, die Seite AB als Zirkelüffnung angenommen (Cap. II, 4). 



Fig. 1. 

 Man errichtet auf AB das Loth BC ^~ AB, verbindet C mit der 

 Mitte D von AB, trägt auf DC DF -^ AB ab und errichtet in der Mitte 

 von DF ein Loth, das die Verlängerung von AB in E trifft. Dann con- 

 struii-t man das Dreieck AJIJE, in dem AM ^^ ME ^ AB ist, und ver- 

 längert BM um AB bis Z. lieber AZ und BZ construii"t man die Drei- 

 ecke AHZ und BTZ, so dass AH = HZ ^ BT ^ TZ = AB ist. 

 ABTZH ist dann das verlangte Fünfeck. Das Dreieck ABZ heisst „Fünf- 

 ecksdreieck". 



In der That ist DE = DC ^ ^\ll- AE—^(l + \/b). Es 



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theilt B AE im Verhältniss des goldenen Schnittes. Somit ist Winkel MAB 

 = 'R, Winkel JfBA = 'U und wegen MA = MZ Winkel AZB = |R. 

 Da also AZ - ~ BZ = AE, gleich der Diagonale des gesuchten Fünfecks 

 ist, ist Z ein weiterer Eckpunkt desselben. 



2. Das Achteck, die Seite AB als Zirkelöftnung angenommen (Cap. II, 8). 



Fig. 2. 

 ]\Ian errichtet die Lothe BC imd AD und macht sie gleich AB, ver- 

 längert CA und DB über A resp. B um AB bis E resp. Z, und errichtet 

 in E und Z auf EZ die gleich AB gemachten Lothe E]\I und ZI. Dann 

 halbirt man die Winkel zwischen MI und den Verlängerungen von EM 

 und ZI und schneidet auf den Halbirungslinien MG und FH gleich AB 

 ab. ABZIHGME ist das gesuchte Achteck. 



3. Das Zehneck, Seite ^^5 Zirkelöffnung (Cap. II, 11). 



Nach Construction des „Fünfeckdreiecks" ABZ theWt man den Winkel 

 zwischen AZ und der verlängerten BZ in vier gleiche Theile. Die von Z 



