[lö] Zur Geschichte der Geometrie mit constanter Zirkelöftnung. 83 



Eiiclid I, 13, 14, 15 werden nun gemäss Theon's Beweis ohne Zu- 

 hilfenahme aiulerer als der bewiesenen Sätze gewonnen. 



Nun gelangt Ferrari zu Euclid I, 3 und lehrt eine kleinere Länge 

 AB auf einer grösseren AC vom gemeinsamen Endpunkte beider A aus ab- 

 tragen. Die auch von Herrn Cantor als Beispiel gegebene Construction ist 

 die folgende. Winkel BAC wird durch AD halbirt, auf AD E als Schnitt 

 mit einem Kreise r um B bestimmt, dann F als Schnitt von AC mit einem 

 Kreise um E vom Radius r erhalten. AF ist dann bei geeigneter Wahl 

 des Schnittpunktes E gleich AB. Der Beweis, von Ferrari nur angedeutet, 

 fällt mit dem der Congruenz zweier Dreiecke zusammen , die zwei Seiten 

 und den einer denselben gegenüberliegenden Winkel gleich haben. Man 

 beweist durch Umlegen des Dreiecks ABE um AE die Existenz eines 

 reellen Schnittpunktes F, sowie dass er bei Abzahlung der Schnittpunkte 

 des Kreises E mit AB und AC von A aus, dieselbe Nummer wie B erhält. 

 Schneidet übrigens der Kreis um B AD nicht, so wird der AVinkel BAD 

 nochmals halbirt und so fort. Da nun ein gleichschenkliges Dreieck über 

 einer gegebenen Basis leicht construirt werden kann, ist auch I, 2 (von 

 einem gegebenen Punkte D aus eine Linie von gegebener Länge BC ab- 

 zutragen) und I, 3 (das allgemeine Abtragen einer Strecke BC auf DE von 

 D aus) zu leisten. Das letztere geschieht durch Errichtung des Mittellothes 

 auf BD, das die Verlängerung von BC in A schneidet, durch Abtragen 

 von AC auf AD, wodurch man AF erhält, und Abtragen von DE auf DE. 



Eine Reihe weiterer Propositionen des Euclid — I. 16 — 21, 26 — 30 — ■ 

 können nun in der gewöhnlichen Art bewiesen werden. 



Es folgt I, 23, an eine gegebene Gerade AB in einem gegebenen 

 Punkte A einen gegebenen Winkel CDE abzutragen. Xwi DC sei DE ^ r 

 abgeschnitten , auf DE G so bestimmt , dass FG ^= r ist. DG wird nun 

 auf AB abgetragen, und möge AH sein ; dann gewinnt man Punkt K als 

 Schnittpunkt zweier um A und H mit der Zirkelöffuung r geschlagenen 

 Kreise. Winkel KAH ist dann gleich CDE. Stumpfe Winkel halbirt 

 Ferrari zuerst. 



Die Gleichheit der Schenkel in einem Dreieck mit gleichen Basis- 

 winkeln (I, 6) wird bewiesen, indem das zweimal gezeichnete Dreieck mit 

 sich selbst, aber in verschiedener Richtung gesehen, zur Deckung gebracht 



