[27] Zur Geschichte der Geometrie mit constanter Zirkelöffming. 95 



Um den AVinkel ßAC in P an L anzutragen , zieht er (Fig. 8) AD 

 parallel Z, lialbirt den Winkel CAD durch AE und zeichnet den Winkel 

 BAAi gleich dem doppelten BAE. Eine Parallele zu AM durch P bildet 

 mit L den Winkel BAC. 



Zur Behandlung von (7) fällt er (Fig. 9) vom Kreismittelpunkte C 

 aus das Loth CP auf L, trägt dann den Kreisradius P als CA in beliebiger 

 Richtung von C aus ab und zieht AP. Ein um C mit der ZirkelöflPnung r 

 geschlagener Kreis schneidet CA in /)'; man ziehe nun durch B eine Pa- 

 rallele zu AP. die CP in O schneidet, zieht durch O eine Parallele zu Z, 

 die den Normalkreis in AI und Ä^ schneidet, und findet die gesuchten 

 Schnittpunkte von Z mit dem um C mit P geschlagenen Kreise als die 

 Schnittpunkte von JlIC und Ä^C mit Z. Diese Lösung ist sehr elegant. 



Die anderen Lösungen Woepckes fallen mit schon von den Italienern 

 (die er übrigens nicht gekannt zu haben scheint) gegebenen zusammen. 

 Auch Woepcke behandelt nur die Aufgaben, nicht die Lehrsätze des Eluclid. 



10. 



Das Problem der Geometrie mit constanter Zirkelöffnung war von 

 den italienischen Mathematikern abschliessend gelöst worden: Ferrari und 

 Cardano hatten gezeigt, dass er möglich ist, die gesammte Cleometrie auf- 

 zubauen, wenn die Möglichkeit zugegeben ist, in der Ebene Kreise von be- 

 stimmter Grösse in beliebiger Lage zu zeichnen. Ein anderes, aber mit 

 dem vorigen Aehnlichkeit besitzendes Problem behandelte im Anfang dieses 

 Jahrhunderts Poncelet'), nämlich das, alle sonst mit Zirkel und Lineal aus- 

 geführten Constructionen nur mit Benutzung eines in der Ebene der Zeich- 

 nung gegebenen festen Hilfskreises und des Lineals durchzuführen. Die 

 auferlegte Beschränkung (es ist nur ein Kreis mit seinem Mittelpunkt der 

 Grösse und Lage nach gegeben), geht also über die der eigentlichen Geo- 

 metrie mit constanter Zirkelöffnung hinaus; aber andrerseits wird auch 

 weniger verlangt, nämlich nur Construction der Aufgaben, nicht Beweis der 

 Lehrsätze der Geometrie. Letzteres Problem hat sich weder Poncelet, noch 



1) Poncelet, Traite des proprietes projectives des figures. Paris 1822. § 353. 



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