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Geometr.-analyt. Theorie der symmetr. ^-Functionen mit einf. Nebenpunkt. 215 



bezeiclineii. Die Aufgabe, die Halbebene P (Fig. 3) so auf die Fläclie 

 eines gewöhnlichen Kieisbogendreiecks mit den Winkeln yi„jr, //„jr, »'„jr ab- 

 zubilden, dass die Ecken des letzteren bezw. dreien auf der Begrenzung 



der Halbebene P gelegenen „singulären 

 Punkten a, b, t"') entsprechen, wird 



durch die Schwarz'sche Function: 



h < 



( « 



-! 



gelöst. Dieselbe lässt sich detiniren als Particularlösung der folgenden 

 gewöhnlichen Differentialgleichung dritter Ordnung: 



(1-) 



dz'' 



ds 



dz'i 

 ds~ 



\ ds ) 



(z — a) {z — h) (z — c) 



1 — 2|,- (ö - ^}{a — c) 

 2 z — a 



l — fi,^ Q)^c){h — a) ^ l -yp^ {c — a){c — h) 



Die Grössen x^,, //„, r,, nennen wir die den singulären Punkten a, ö, c zu- 

 gehörigen „Exponenten".') 



Wir vermögen nunmehr den Inhalt der vorliegenden Arbeit kurz 

 anzugeben. Wir wollen diejenigen „symmetrischen S-Functionen" 



1) Im Anschlüsse an die Arbeit Riemann's , Beitrüge zur Theorie der durch die 

 Oauss'sche Reihe F (a, ß, y, x) darstellbaren Funktionen", Gesammelte Werke, Nr. IV, p. 67ff., 

 Leipzig 1892, ist die Bezeichnung so gewählt, dass wir bei positivem Umlaufen der Halb- 

 ebene P die singulären Punkte in der Reihenfolge c, Z*, a antreffen. 



2) In Betreff" eines eingehenderen Studiums dieser Verhältnisse sei vor allem auf die 

 für dieses ganze Untersuchungsgebiet grundlegende Arbeit des Herrn H. A. Schwarz verwiesen: 

 „Ueber diejenigen Fälle, in welchen die Gaussische hypergeometrische Reihe eine algebraische 

 Function ihres vierten Elementes darstellt", Journal für reine und angewandte Mathematik, 

 Bd. 75 (1873), p. 292—335, sowie gesammelte Abhandlungen Bd. II, p. 211—259, Berlin 1890. — 

 Im Anschlüsse an eine Arbeit des Herrn Klein: „Ueber die Nullstellen der hypergeometrischen 

 Reihe", Ann. Bd. 37, p. 579 ff. (1890) habe ich in meiner Abhandlung „Beiträge zur geo- 

 metrischen Theorie der Schwarz'schen s-Function", Ann. Bd. 44, p. 161 — 260 (1894) von den 

 im Text erwähnten gewöhnlichen Kreisbogendreiecken eine anschauliche geometrische Dar- 

 stellung zu geben unternommen. Man sehe insbesondere die §§ 1 und 14 — 20. Im Folgenden 

 wird indess nur die Kenntniss des § 14 vorausgesetzt. Ich werde diese Arbeit ferner kurz 



als „Beiträge' citiren. 



Nova Acta LXXI. Kr. 5. 



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