224 Friedricli Schilling, [18] 



Den Ausgangspunkt unserer allgemeinen Untersuchung bildet die 

 bereits angeführte gewöhnliche Ditferentisilgleichung 3. Ordnung. 



l—fi-'- jh—c) (h—a) jb—d ) l—yi jc—a) jc—b) jc—d ) _ 3 {d—u) (d—b) jd—c) ' 

 "^ 2 ■ 2—b "•" 2 ■ z—c 2 2—d "^ 



Wie wir nochmals anführen wollen, bezeichnen a, b, c, d die „singulären 

 Punkte", 1. [1. V. 2 sind die zu ihnen gehörenden „Exponenten", A ist der 

 „accessorische Parameter". Wir setzen voraus, dass die Punkte a, 6, c, d 

 sämmtlich im Endlichen gelegen sind. 



Ferner nehmen wir zunächst an, dass d von a, d, c verschieden ist. 

 Wir machen den für die Umgebung der singulären Stelle d gültigen Ansatz : 



(6.) S = d log {z — d) + U- — f?)--^ + d, {z — d)-' + d, -f- d; (>— d) + . . . 



Die Coefficienten rf. cS,, d^, 4... seien von z unabhängige Grössen. Durch 

 einfache Ausrechnung eigiebt sich zunächst: 



S-" 3fS'y 3 1 , 3 d, [aa ,? ^A , 



wo in jedes folgende Glied ein neiier Coefficient d, linear eintritt. Wir 

 entwickeln auch die rechte Seite der Diflferentialgleichung (2) nach Potenzen 

 von (2^ — d). Die dies leistende Eechnung ist zwar an uiul für sich einfach, 

 jefloch etwas umständlich. Wir begnügen uns, sogleich das Resultat an- 

 zuführen. Wir führen zu dem Zwecke folgende Abkürzungen ein: 



§ = {d—b) {d— c) + (d—c) {d—a) + {d — a) (d — b), 



y = ^-{a — b) {a — c) + ^'"- {b — c) (b — a) + ^ - (c — «) (c — b), 



7/1 = {a—b)(a—c)(d — b)id—c) + {b — c){b—a)(d—c)id—a} + ic-n){c—b)(d—a){d—b), 



7/2 = /M«— &) (« — c) (d—b) (d — c) + jm2 (b — c) (b — a) (d — c) (d — a) 



i- v-^(c— a) (c — b) (d — «) (d — b), 



-_ 1 



^ (d—a) {d—b) (d—c)' 



(d—a) + (d—b) + (d — c) 



* = 



Man überzeugt sich leicht, dass die Identität besteht: 



(7.) P->k — S» = 0. 



