[19] Geometr.-analyt. Theorie der syinmetr. iS-Functionen mit einf. Nebenpunkt. ^^O 



Die rechte Seite R (s) der Differentialgleichung (2) ergiel)t jetzt die folgende 



Entwickelung: 



R{z) = --- 



1 



+ 



1 



-ä^ 



^-'y + 2l 



+ C" 



■ö^_^(^_,)_|(g._^) 



+ 



2 iz—d)'»' 



Durch Coöfficieiitenvergleichung der beiden Potenzentwickelungen 

 erhalten wir nachstehende Gleichungen: 



^ A 

 2^^ 



.(u + ld,-^ 



\ 



-i . 



A-v + ~^^ 



'ÖJ_g(^_^)_|(g2_^) 



Durch Substitution des Wertes von ö, aus der ersten Gleichung in 



die zweite kommt; 

 ö = 



^1 

 8 



■v + 



r--';i + ';■- — 3.«^ 



oder unter Benutzung von Gleichung (7): 



6 = 



£^ 



Ä-r, + ,^^ 



Vi) 



AYir verlangen jetzt, dass der Coefficient 6 verschwindet, d. h. dass 

 das logarithmische Glied im Ansatz (6) fortfällt. Diese Forderung besagt 

 mit anderen Worten: Der singulare Punkt d soll nach der Bezeichnungsweise 

 des Herrn Klein ein „einfacher Nebenpunkt" der Differentialgleichung sein.^) 



Dann erhalten wir die folgende Bedingnngsgleichung für den 



accessorischen Parameter A: 



1 



2^ 



= ?;.> 



>) Es sei die allgemeine Differentialgleichung -^ — -A^^\ = R^{z) gegeben, wo 



B^(ß) eine beliebige rationale Function von z bedeute, deren Unendlichkeitsstellen 

 sämmtlich im Endlichen gelegen sind. Ferner bedeute F{z — (7) eine nach ganzen posi- 

 tiven Potenzen von {z — d) fortschreitende Putenzreihe, deren constantes Glied gleich 1 ist, 

 und m eine ganze positive, von und 1 verschiedene Zahl. Eine Unendlichkeitsstelle 

 d der Function llxiz) ist dann ein „ (m — l)facher Nebenpunkt" der Diffe- 

 rentialgleichung, wenn es eine Parti c ularlö sung So giebt, welche in der 



Umgebung von d die Entwickelung gestattet: §^ =_ (^ — f/) . p(ä. __ f/). 



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