[21] Geometr.-analyt. Theorie der symmet. S-Functionen mit einf. Nebenpunkt. 227 



Wir verstehen unter ]x — ij die Grösse i — z, wenn >l'<l, X — 1, 

 wenn >i'>i, ilX", wenn ;i'=i ist. Vergleichen wir die Differentialgleichung 

 (2*) mit der Differentialgleichung (1), so gewinnen wir den Satz: 



3. Ist d mit a zusammengefallen, so definirt die sich 

 ergebende Differentialgleichung (2*), je nachdem das obere 

 oder untere Vorzeichen auf ihrer rechten Seite gilt, 

 j-Functionen mit den Exponenten x + l, fj, r oder j-Functionen 

 mit den Exponenten |2 — 1|, //, r. Entsprechendes gilt, wenn 

 d mit d oder c zusammenfällt. 



§ 3. 



Allgemeine Eigenscliaiteii der S-Fimctioiieii mit einfachem 



Mebenpunkt. 



Im Folgenden stellen wir zunächst einige Eigenschaften der 

 >S- Functionen zusammen, die sich unmittelbar aus der Differentialgleichung 

 ableiten lassen. Sie finden ihre Analoga in der Theorie der ^-Functionen. 

 Da die Beweise der Sätze keine neuen Methoden erfordern, gehe ich der 

 Kürze wegen auf dieselben nicht näher ein. 



4. Ist S„ eine Particularlösung der Differentialgleichung 

 (2), so stellt sich das allgemeine Integral ^" derselben als ge- 

 brochene lineare Function von S„ mit beliebigen, doch von z 

 unabhängigen Coefficienten dar: 



„_ nSo + ß 

 ySo + 6' 



5. Unter den P ar ticularlösungen befindet sich eine 

 ausgezeichnete 5„. Dieselbe gestattet in der Umgebung 

 des singulären Punktes a, falls der Exponent A nicht ganz- 

 zahlig ist, die folgende Darstellung: 



Sa = (^- — «V-.P« (* — «), 



falls aber x ganzzahlig ist, eine der folgenden beiden Ent- 

 wicklungen: 



Sa :^ \og{3 — a) + (^s — a)->-.Fa{z — a) 



