228 Friedrich Schilling, ["22] 



oder Sa = (■s — a} — >- .Pa{2 — a), 



yfQ pj^^a) stets eine nach ganzen positiven Potenzen von 

 (2 — a) fortschreitende Potenzreihe bezeichnet, deren con- 

 stantes Glied gleich 1 ist. Wenn )- ganzzahlig ist, nennen wir a 

 einen „ Ansnahmepunkt " der Diiferentialg-leiehung; und zwar, falls die 

 zweitletzte Potenzentwicklung gilt, einen „Ausnahmepunkt erster 

 Ordnung", falls die letzte Potenzentwicklung gilt, einen „Ausnahme- 

 punkt zweiter Ordnung".') Das Analoge gilt für eine Particular- 

 lösung 5(, bezw. 5/. an Stelle der Grössen a, x treten die Grössen 6, n 

 bezw. c, r. 



6. Jeder Zweig 5"„* einer beliebigen P a r t i c u 1 a r 1 ö s u n g 

 S„ besitzt an allen von a, b, c verschiedenen Stellen den 

 Charakter einer rationalen Function. Ist z = d keine Un- 

 endlichkeitsstelle von S*, so kommt in der für die Umgebung von z = d 

 gültigen Potenzentwicklung der Function nicht die erste Potenz, wohl aber 

 die zweite Potenz ^on (z — d) vor. Ist aber z = d eine Unendlichkeits- 

 stelle, so wird die Function dort unendlich von der zweiten Ordnung. (Vgl. 

 die Entwickelung auf p. 18 if. im Anschluss an den Ansatz 6). Ist ferner 

 die von a, b, c, d verschiedene Stelle z„ keine Unendlichkeitsstelle des 

 Zweiges 5"„*, so kommt in der für diese gültigen Potenzentwicklung die 

 erste Potenz von (z — z„) vor.^j Ist aber z„ eine Unendlichkeitsstelle, so 

 wird die Function in ihr unendlich von der ersten Ordnung. Diese Sätze 

 geben mit anderen Worten die Thatsache wieder, dass die Differential- 

 gleichung ausser a, b, c, d keinen singulären Punkt besitzt und dass d ein 

 einfacher Nebenpunkt ist.') 



') Ein „Ansnahmepunkt zweiter Ordnung" hat überhaupt seinen singulären Charakter 

 verloren, wenn / = 1 ist. Ist yl > 1. so ist ein „Ausnahmepunkt zweiter Ordnung" zugleich 

 ein , Nebenpunkt". Vgl. die Anm. p. 19. 



2) Ist Zo ^ c»., so hat man an Stelle von (z — z^), wie bekannt, ^ zu lesen. 



3) Angenommen, wir verlangten von einer Function S>o{z) mir, dass sie die im 

 Abschnitt 6 ausgesprochenen Eigenschaften besitzt und ferner eine constante Coefficienten 

 besitzende, gebrochene, lineare Verbindung einer Function Sa, sowie eine ebensolche einer 

 Function Si und einer Function Sc ist, wo für die Functionen Sa-, St, Sc bezw. in der Nähe 

 der Stelle a, h oder c je eine der im Satze 5 gegebenen Arten der Potenzentwicklungen 



