[23] Geometr.-analyt. Tlieon'e der symmetr. (S-Functionen mit einf. Nebenpnnkt. 22-9 



Aus dem Satze ü folgt sofort: 



7. Besitzt ein Zweig- S* einer Particularlösung S„ in 

 einem bestimmten Gebiet der Ebene (z) unendlich viele 

 Unendlichkeitsstellen, so kann eine Häufigkeitsstelle der- 

 selben in keinem von a, b, c verschiedenen Punkte liegen. 



8. Führt das Argument z einen vollen positiven Umlauf 

 um e in e u der s i n g u 1 ä r e n Punkte a. b oder c aus, so geht ein 

 Zweig S^ einer beliebigen Particularlösung S^ in einen 

 neuen Zweig über, der sich durch eine g e b r (» c h e ii e 1 i n e a r e 

 Substitution mit von z unabhängigen Coeff icien ten aus S* 

 ergiebt. Es sei z. B. S** derjenige Zweig der Particularlösung S„, in 

 den der Zweig S* nach einer positiven Umlaufung des Punktes a über- 

 gegangen ist. Falls der Exponent ;. nicht ganzzahlig ist, lautet die beide 

 Zweige verknüpfende Substitution in der Normalform: 



fS'o** — «I "iiJtX So* — «1 



So** — «2 So* — a-i 



wo «1, a., die Fixpunkte der Substitution sind. Ist x gleich 0, so ist die 

 Substitution eine parabolische. Ist aber x eine ganze, von verschiedene 

 Zahl, so kann man von vornherein nicht entscheiden, ob die Substitution 

 eine parabolische oder eine identische ist. Wir gehen indess hier nicht 

 näher darauf ein. Das Entsprechende gilt für die Substitutionen, welche 

 So' bei Umlaufung des Punktes b oder c erleidet. 



9. Man kann das Argument z eines Zweiges S^* nach 

 einander je einen vollen positiven Umlauf um jeden der 



gelten soll. Dann kann man in ähnlicher Weise, wie Riemann in seiner bereits genannten 

 Arbeit die P- Function einführt, sofort schliessen, dass eine solche Function So auch wirklich 

 existirt und eine S- Function mit einfachem Nebenpnnkt ist. Ihre Differentialgleichung ist 

 indess, wenn die Grössen a, b, c, d, X, fi, v gegeben sind, durch die genannten Eigen- 

 schaften allein, allgemein gesprochen, noch zweideutig bestimmt, entsprechend dem 

 doppelten Vorzeichen der Wurzel in der Bedingung (8). Man vergleiche die in der Ein- 

 leitung discutirte Forderung, dass eine Function die Eigenschaft besitzen soll, die Halbebene 

 P auf ein Kreisbogendreieck mit einfachem Knotenpunkt abzubilden. Wie man leicht erkennt, 

 steht diese Eigenschaft mit den soeben genannten auf einer Stufe. 



