230 Friedrich Schilling, [24] 



singulären Punkte a, b, c so ausführen lassen, dass der 

 neue Zweig der P a r t i c u 1 a r 1 ö s u n g mit dem ursprünglichen 

 identisch ist. Bezeichnen wir die drei Substitutionen, welche hierbei 

 der Zweig 6",* nach einander erleidet, mit j, B, r. so besagt der letzte Satz 

 mit anderen Worten: Die Aufeinanderfolge der Substitutionen 

 A, B, r ergiebt die Identität. Dies drücken wir symbolisch durch 

 die Gleichung aus: {A){B{r) = 1- 



10. Die Gresammtheit aller linearen Substitutionen, 

 welche ein Zweig SJ^ der einzelnen Par ticularlösung S„ er- 

 leidet, wenn das Argument beliebige UmLäufe um die singu- 

 lären Punkte a, b, c ausführt, bildet eine Gruppe. Die nach 

 Satz 9 für den ausgewählten Z^veig 5/ erklärten linearen Substitutionen 

 A, B, r mit der Bedingung (J)(ß)(r) = l können wir als erzeugende 

 Substitutionen der Gruppe betrachten — wir nennen sie dann die 

 Fundamentalsubstitutionen — , d.h. jede Substitution der Gruppe 

 lässt sich erzeugen, wenn man Substitutionen A, B, r wiederholt auf ein- 

 ander folgen lässt. 



11. Den Sätzen S — 10 entsprechend kann man, all- 

 gemein gesprochen, das Argument z zweckmässig auf einer 

 u n e n d 1 i c h b 1 ä 1 1 r i g e n R i e m a n n ' s c h e n Fläche deuten; deren 

 Verzweigungspunkte liegen an den Stellen /j , b, c und sind 

 im allgemeinen von oc hoher Ordnung. 



Wir kehren nun zur Differentialgleichung (2) zurück. Wir ver- 

 einigen das in A enthaltene Glied ?/ mit den entsprechenden Gliedern in 



der Klammer auf der rechten Seite und nehmen den Factor t in die 



— 



Klammer hinein. Es ergiebt sich: 



^'_^/^^T= \ | 1— ;i-^ { a—c).{z—d) a—h i-—fi\ ^ ^ (b —c){b—a) 



S' 2\S'J ~ (s—a){0—c){2—a)'\ 2 ■ 0—a ' z—h'^ 2 ^~ '' (^—6)" 



1— v2 {c—a){e—d) c—h _ 3 {d—a){d—c) d—h \ 



"•" 2 ■ z—c ' z—b 2 z—d ' z—h "*" ' | ' 



A — w . ^ 

 ^0 A = -JUi ist. 



