[25] Geometr.-analyt. Theorie der symmetr. ,S'-Functioiien mit einf. Nebenpunkt. 231 



Wir geben den Punkten a, h, c jetzt die speciellen Wertlie 0, '^, 1/) 

 Indem wir zugleich an Stelle von z und d bezw. x und /- einführen, er- 

 halten wir: 



^-'' S' 2\S'J .r.(.r— 1) \ 2 a: ^ 2 ^ 2 x—1 



_3'±^ + ^^!, WO 

 2 (x — ry x—r\ 



(10.) A,=—r+l + \/fO0 



und 



(11.) f{r) = fi'^ri — (ri+fi-^—v'-)r + ?.-^ ist. 



Damit der Wertli r = cc nicht eine Ausnahmestellung einnimmt, 



setzen wir r = ' und betrachten an Stelle der Function f{>-) die Form 



g,(r,,r2) = r.{^.f{r) oder: 



(11*) (f(r,.r.i) = fr-rr- — {r- + (i-^ — r'-)rir, + ?.■'>■.,■'-. 



Die soeben ausgefülirte Umformung der Ditferentialgleichnng Ijeruht 

 in ihrem Wesen darin, dass an Stelle des Argumentes z sein Doppelverhältniss 

 mit den singulären Punkten a, b, c als unabhängige Variable .v eingeführt, d. h. 



{ß — a){ß — h) ^ ^^^^^ dementsprechend 

 (z—mc—a) ^ 



(rf— 6)(c— a) ° ' 



1) Wir folgen hierbei Kiemann, der in seiner bereits genannten Arbeit gleichfalls 

 speciell ct^O, 6 = 0:, c = l setzt. 



2) Man kann natürlich die Bezeichnung der singulären Punkte a, 6, c und entsprechend 

 die ihrer Exponenten 1, //, i' noch mit einander vertauschen, ehe man den Grössen a, h, c die 

 speciellen Werthe 0, oc, 1 ertheilt, was zweckmässig sein kann, wenn die genannten Grössen 

 vorgegebene Zahlwerthe besitzen. — Unterwirft man überhaupt in der Difierentialgleichung (2.) 

 p. 18 die unabhängige Variable x und die singulären Punkte derselben linearen Transformation, 

 so erhalten wir stets wieder eine Differentialgleichung derselben Form, d. h. eine solche, deren 

 Integrale S-Functionen mit einfachem Nebenpunkt sind. Wir werden alle Ä-Functionen, die 

 durch lineare Transformation der unabhängigen Variablen und eine solche der abhängigen 

 Variablen in einander übergehen, oder, was auf dasselbe hinauskommt, alle ^-Functionen, 

 deren Differentialgleichungen durch dieselbe lineare Transformation der unabhängigen Variablen 

 und der singulären Punkte a,b,C,d sich in einander überführen lassen, als nicht wesentlich 

 verschieden ansehen. 



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