232 Friedrich Schilling, [26] 



AVir leg-en fernerliin allein die einfachere, wenn auch weniger symme- 

 trisch gebaute Differentialgleichung (9.) mit der Bedingung (10.) unserer 

 Untersuchung zu Grunde. Hierdurch geschieht, wie ich noch ausdrücklich 

 hervorhebe, der Allgemeinheit der Betrachtung keinerlei Abbruch. In wie 

 fern unsere bisher angeführten Sätze in Eücksicht auf die spezielle Form (9.) 

 der Differentialgleichung zu modificiren sind, brauche ich kaum auszuführen. 



Die auf der positiven Seite der Axe des Eeellen gelegene Halbebene 

 des Argumentes x bezeichnen wir im Folgenden kurz als „Halbebene ^." 



Es sind folgende drei Fälle zu unterscheiden: 



I. Die Form 9; (>■,,»-.,) verschwindet identisch, d.h. es ist 

 X = fi = V = 0. Diesen Fall besprechen wir sogleich im nächsten Para- 

 graphen näher. 



II. Der Hauptfall: Die Gleichung f;:()|.,-.) = besitzt zwei 

 von ein a n d e r "• e t r e n n t e W u r z e 1 n : 



o 



** 



r* = -^ und ,■** = -^ . Es ist : 



(12.) r* bczw ,-*^- ^-' + ^~'''±i^^^ + ^ + '^)(^-/*-'^^(^-/^ + '^)('^ + ^-'^) 



2X^ 



A2 + fi-i—v'i ± \/(Z + (l + v){X — fl — V){X—fl + v){X + (l—V). 



Die Wurzel soll den Hauptwert annehmen. Die oberen Vorzeichen 

 gelten für die Grösse r*, die untern für die Grösse r**. 



Wir deuten zweckmässig den Parameter r auf einer zweiblättrigen 

 Riemann 'sehen Fläche, für welche die Punkte r* und r** die einzigen 

 Yerzweigungspunkte sind. Verschwindet einer der Exponenten A.//, r, so ist 

 der zugehörige singulare Punkt nothwendig eine Wurzel der Gleichung 

 y (;•,,!•,) == und umgekehrt, d. h. 



12. An einer der Stellen o.>:,l liegt ein Verzweigungs- 

 punkt der zweiblättrigen Kiemann'schen Fläche stets dann 

 und nur dann, wenn bez. x, /i oder v gleich Null ist. 



III. Der Ausnahmefall. Die Gleichung f/(r,,>-.,) = besitzt 

 eine Doppelwurzel ;"'**. Dann muss einer der Factoren des unter dem 

 Wurzelzeichen der Gleichung (12.) stehenden Ausdrucks verschwinden. 



