[27] Geometr.-analyt. Theorie der symmetr. >S-Functionen mit einf. Nebenpunkt. 233 



13. Der Ausnahmefall tritt stets dann und nur da,nn 

 ein, wenn die Bezeichnung- d e r E x p o n e n t e n (nicht ohne Rücksicht 

 auf die zu Anfang- des §2 g-einachte Festsetzung) sich so -wählen lässt, 

 d a s s die Gleichung besteht a = // + r. (Vgl. die Anni. 2 der Seite 25.) 

 Diese Annahme über die Bezeichnung der Exponenten wollen wir im Aus- 

 nahmefalle im Folgenden stets als erfüllt voraussetzen. Es ist dann: 



(13.) r***=^- 

 f 



Die Bedingung (10.) zerfällt jetzt in die beiden: 



1 / ^ 



(14a.) J, = -'•+2 + ."('--^ 



oder: 



(14b.) A = ~'' + l-l'{''-^^ 



Wir haben im Ausnahmefalle (im Gegensatze zum Hauptfalle) für 

 gegebene Exponenten a. //. r zwei analytisch völlig von einander verschiedene 

 Bedingungen (14 a) und (14 b). Die ihnen entsprechenden Differentialglei- 

 chungen unterscheiden wir bez. als Typus A und B. 8ie gehen indess für 

 ,,. ^ ,.*** ^ ± i]| dieselbe specielle Differentialgleichung mit dem Parameter: 



(140.) A = --l+l 



Über. Wir nennen diese die 1 )ifferentialgl eichung des U e b e r g' a n g s f a 1 1 e s. 

 Wir deuten jetzt zweckmässig den Parameter /- auf zwei einblätt- 

 rigen R i e m a n n' s c h e n Flächen, die nur im Punkte /- = r*** zusammen- 

 hängen. 



14. Ist speciell r = o (und damit ;. = ,«), so ist der Punkt 1 

 der Doppelpunkt; an den Stellen und o^ dagegen kann der 

 Doppelpunkt bei unserer Festsetzung niemals liegen. 



Die Differentialgleichung des Uebergangsfalles wollen wir sogleich 

 noch etwas näher studiren. Ihre liuke Seite können wir auch schreiben: 



In diesen Ausdruck wollen wir: 



s = x-'-(x — iy' 



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