[29] Geometr.-analyt. Theorie der symmetr. S'-Fnnctionen mit einf. Nebenpnnkt. 235 



Es ist jedoch zweckmässig, dieser Particiüarlösuuo- nocli eine Con- 

 stante additiv hinzuzufügen. Wir betrachten die Function; 



,,-, r, '■ — 1 , X — 1 X ijt 



(lo.) So=-|^10g^;— y — 10g- + — . 



Wir setzen fernerhin voraus, der Xebenpunkt r gehöre der Axe des 

 Reellen an (vgl. Satz 17) und sei überdies auf das Intervall von 1 bis -j- ^x 

 (einschliesslich der Grenzen) beschränkt'), so dass die Ungleichungen be- 

 stehen : 



Um einen bestimmten Zweig 5o" der Function S^ abzusondern, setzen 

 wir fest: Das Argument v soll alle Werthe der Halbebene '"^^ annehmen 



1) Wenn r nicht, wie im Texte angenommen wurde, im Intervall von 1 bis + ^, 



sondern z. B. im Intervall von bis 1 liegt, d. h. < »• < 1 ist, so setze man : 



x' 1 >■' 1 



X = ; und entsprechend r = - — 



X.' 1 



Die Function x^ - — bildet die auf der positiven Seite der Axe des Reellen ge- 

 legene Halbebene {x) so auf die gleichfalls auf der positiven Seite der Axe des Reellen 

 gelegenen Halbebene {af) ab, dass den Punkten ./■ = 0, 1, -»: bez. die Punkte jc'= 1, >;,0 

 entsprechen. Es ist umgekehrt: 



x'=~ und /•'= . und es gilt: 1 <r'< -|- c<c, 



1 — X 1 — r — — 



d. h. die gleiche Einschränkung wie für r im Texte. 



x' 1 /•' 1 



Setzen wir x = ' — -. — und r = r— in die Differentialgleichung (9*) ein, so geht 



X r 



sie der Form nach in sich selbst über. (Vgl. Anm. 2. pag. 25). Es wird daher die am 



zweckmässigsten auszuwählende Particularlösung durch die der Formel (15) analog gebaute 



Formel 



(15*) ^,=— ^.log^,^^ — log--f- 



gegeben. Setzt man in sie dann für r' und .)■' die Werthe ein. so erhält man schliesslich: 



(15**) S, = (I - >•) log 1^1^^ + r log ^ . 



Man fibersieht leicht, wie dann die im Texte an die Function (15) anknüpfenden 

 Entwicklungen sieh unmittelbar auf die Function (15*) und damit auf die Function (15**) 

 tibertragen. Analoges gilt, wenn r im Intervall von — oc bis liegt. 



Die im Texte eingeführte Annahme, dass r im Intervalle von 1 bis -J- ^ gelegen 

 sei, beeinträchtigt eben die Allgemeinheit der Untersuchung nicht, wenn schon von vornherein 

 aus der Gleichheit aller Exponenten geschlossen werden konnte. 



