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Es sei r, ein beliebiger, doch von 0,^,1 versohiedener reeller 

 AYerth des Arguments .r. Falls die im .Satze 17 angegebenen Bedingungen 

 erfüllt sind, existirt stets eine Particularlösung .S'„ der Ditferentialgleichung, 

 welche in der Nähe des Punktes x^ die folgende Entwicklung gestattet: 



a; = c, + <^^i (v — -Vo) + Q (-V — -vo) ' + •••, 



wo C, reelle, von \ unabhängige Coeffizienten sind. Diese Thatsache liefert 

 sofort in Rücksicht auf die Sätze 4 — 6 i)ag. 21 f. den folgenden Satz: 



IS. Jede „symmetrische'' S-Function bildet die Halb- 

 ebene 'i^ auf ein Kreisbogendreieck mit einfachem Knoten- 

 punkt ab. 



In der Einleitung haben wir gesehen, dass umgekehrt jede Function, 

 welche die im letzten Satze ausgesprochene Eigenschaft l)esitzt, einer Differen- 

 tialgleichung (9) genügt, deren Grössen X"-, n-'-,v'^,r, A^ reell sind. Unsere 

 Detinition 17 erweist sich daher identisch mit der bereits in der Ein- 

 leitung aufgestellten Definition: 



17*. Eine „symmetrische .S'-Func t ioii •■ mit einfachem Ne- 

 benpunkt nennen wir jede Function, welche die Halbebene '"^ 

 auf ein Kreisbogendreieck mit einfachem Knotenpunk t abl)ildet. 



Auch die im vorigen l'aragraiilicn behandelte .V-P^unction mit den 

 Exponenten x = n = v = o ist eine „symmetrische'' 5-Function, wenn der 

 Nebenpunkt r einen reellen Wcrtli besitzt. Gerade diesen Fall haben wir 

 dort näher untersucht. 



Zunächst wollen wir jetzt an die in den Sätzen 4, 8 — 10 p. 21 und 

 23 f. ausgesprochenen lügenschaften einige Betrachtungen anknüpfen, die 

 sich auf „symmetrische" >V- Functionen lieziehen uiul durchaus analog sin<l 

 den entsprechenden EntAvicklungen in der Theorie der symmetrischen 

 .f-Functionen. Dem Satze 4 entspricht der folgciule Satz: 



19. Zwei Kreisbogendreiecke mit einf;\(hem Knotenpunkt, 

 die sich als Abbilder der Halbeliene '-^s vermittelst je eines für 

 dieses Gebiet erklärten ZAveiges verschiedener rarticularlösungen 

 derselben Differentialgleichung ergeben, stehen zu einander in 

 Möbius'scher Krcisverwandtschatt, d. h. sie lassen sich durch lineare 

 Transformation in einander überführen. Hieraus folgt die für unsere späteren 

 rein geometrischen Betraclitungen wichtige Festsetzung: 



