[o3] Geometr.-iiiialvt. Tlieoiie der symnietr. ,S'-Fiiiicliiiiii'ii mit oiiif. Ncljciiijutikt. 239 



20. Alle Kreisbogcndrcieckc mit t'iiifncliein Knoteii- 

 ])Uiikt, welche in ..Mölii ii s'sclier K reis ve iwii iidtscliaft" zu ein- 

 ander stehen, wollen wir für unseren Zweci< als nicht ver- 

 schieden betrachten, da die II a ll)el)ene ''^^ auf sie dnich Inte- 

 grale derselben Diffcrentialgleiclninj;- alij^childet wird. 



Es sei .V/ ein für die Halbebene '<|.s ei'klärter Zwei«»; einer helieltigen 

 symmetrischen .V- Function Sy, ferner sei S/' derjenige Zweig \i)n .S'„, der 

 für die auf der negativen Seite der Axe des Reellen gelegene Ilalbebene ( v) 

 erklärt ist und aus .S'„-'' hervorgeht, wenn das Argument i einen lialhen 

 positiven Umlauf um den Nulli)unkt ausfülirt, und .V,"" derjenige Zweig von 

 S„, der aus A","' hervorgeht, wenn das Argument i einen vollen ])nsitiven 

 Umlauf um densell)en Punkt ausführt. 



Wie der Zweig S* die auf dci- positiven Seite der Axe des 

 Reellen gelegene Ilalbebene (.v) so bildet der Zweig S* die auf d(^r nega- 

 tiven Seite der Axe des Reellen gelegenen Iiall)ebeue (r) auf ein Kreis- 

 bogendreieck mit einfachem Knotenpunkt al). Das Kreisltogendreieck des 

 Zweiges Sf, wie wir uns kurz ausdrücken wollc^n, hängt mit dem des 

 Zweiges .So* längs des ganzen Kreisbogens '/i«^,') zusammen, und /.wai- bildet 

 ersteres einfach die „symmet ri sehe" Wiederholung des letzteren in l'x'zug 

 auf den Kreisbogen //, />i. Man wird jetzt auch verstehen, warum wii- iVw 

 speciellen -V- Functionen, welche di(^ im Satze 17 oder 17" angeführte 

 Eigenschaft besitzen, symmetrische .S'-Functionen genannt haben. Sollte 

 der Knoten])unkt c/, auf der Seite c?, i^, der Kreisbogendreiecke der Zweige 

 .S'u" und .V,* gelegen sein, so bildet nunmehr seine volle Umgebung die- 

 jenige eines einfachen Verzweigungspnnktes. — l)as Kreisbogendreiecdv des 

 Zweiges .V/* dagegen hängt wieder mit dem Kreisbogendreieck des Zweiges 

 Sg* längs des ganzen Kreisbogens, der die Abl)ildung der Strecke ac (lurch 

 S/ darstellt, zusammen und geht aus dem Kreisbogendreieck d(;s Zweiges 

 .V/ hervor, wenn man auf letzteres die entsprechende, im Satze H erklärte 

 lineare Sul)stitution anwendet. Das Analoge gilt bei Umläufen um dm 

 singulären Punkt ->- oder 1. Der Anreihung einci' neuen llalbebem; des 



') Mit ai C|, Vjez. c, b^, h^ «i bezeichnen wir in allen Filllen die den Strecken von bis 1, 

 von 1 bis -f- oc, von — -^^ bis der Axe des Reellen entsprechenden Kreisbogen, iniigen die 

 Punkte 0,^,1 selbst ein Abbild finden oder nicht. (Vgl. Anm. 1, pag. 8.) 



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