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Argumentes entspricht die Anreiliung eines neuen Kreisliogendreiecks in 

 der Ebene der Function. Weiter wollen wir auf diese Verhältnisse nicht 

 eingehen. 



Es sei im folgenden die Bezeichnung der Exponenten ;.,(/.»• so ge- 

 wählt, dass: A'^,«'^v' ist, 



und X"^n"^v", ■ 

 wenn alle drei Exponenten rein imaginär sind. Welche Werthe sind für 

 den reellen Parameter ;■ zulässig, damit die Differentialgleichung mit reellen 

 Grössen P.fi^v"- symmetrische Functionen definirt? Bei der Beanwortung 

 dieser Frage unterscheiden wir wieder, wie auf pag. 26, den Hauptfall und 

 den Ausnahmefall. 



I. Der Hauptfall. Die Möglichkeit, dass einer der Verzweigungs- 

 punkte der Riemann'schen Fläche, auf der wir den Parameter ;- deuten, 

 nach 0. -^, 1 fällt, wnrd in der folgenden Betrachtung leicht zu erkennende 

 Grenzfälle ergeben, die wir nicht ausdrücklich anführen wollen. 



A. Es seien alle drei Exponenten k, /j, v reell. Die beiden 

 Verzweiguugspunkte /-*, r** sind: 



«) conjugirt complex, wenn k < ii + v ist. Die quadratische 

 Form y(/'i, r.,) in Gl. (11*) ist für /■=0 positiv, und, da sie für keinen reellen 

 Werth r verschwindet, so ist sie für alle Punkte der Axe des Reellen positiv. 



21. Für jede Lage des Nebenpunkts r auf der Axe des 

 Reellen erhalten wir dem doppelten Vorzeichen der Wurzel der 

 Bedingung (10) entsprechend zwei verschiedene Differential- 

 gleichungen mit reellem Parameter ^i und also auch zw^ei ver- 

 schiedene symmetrische 6"-Functionen.*) 



ß) beide reell (und natürlich von einander getrennt), wenn }.>fi + r 

 ist. Da 9}(^i, r.,) in den Punkten 0, -t, 1 positiv ist, so muss in jedem der 

 drei Intervalle von bis 1. von 1 bis + oc , von — et bis der Axe des 

 Reellen eine grade Anzahl von Wurzeln der Gleichung g? (.^i, r.^) = liegen. 



Nun ist ^—t^l^Zll-^1, da ;.2 > ^^-i _|_ ^,2 ist, folglich liegt die Wurzel r* und 

 damit auch ;-'* in dem Intervall von 1 bis -f- ^. 



') Verschiedene Particularlösungen derselben Differentialgleichung wollen wir 

 nicht als verschiedene /S'-Functionen rechnen, vgl. Satz 20. 



