[35] Geomefr.-analyt. Tlieorie der symmetr. ,S'-Functionen mit einf. Nebenpunkt. 2-1:1 



22. Nur wenn /■ ein Punkt des ausserhalb der Strecke ;-*;-** 

 gelegenen Theiles der Axe des Reellen ist (d. li. des die Punkte 

 0, oc, 1 enthaltenden Theiles), erhalten wir, da dann (p{r.^,r.^ 

 positiv ist, zwei synimetrische 5-Functionen. (Ist;- gleich r* oder 

 r** selbst, so erhalten wir natürlich nur eine symmetrische 5"- Function. 

 Wir verzichten darauf, diesen selbstverständlichen, auch in den folgenden 

 Sätzen sich ergebenden Grenzfall allemal besonders hervorzuheben.) 



B. Es seien zwei Exponenten, ;. und ;/, reell, der dritte, j-, 

 rein imaginär. Da r/. (/j. r,,) für /• = 0, ^ jjositiv. für ;-=l negativ wird, 

 so muss nothwendig in den Intervallen von 1 bis + >. und von bis 1 je 

 eine Wurzel der Gl. ^(rj, r.,) = liegen. 



23. Nur wenn ;- ein Punkt desjenigen Theiles ;-* r** der 

 Axe des Reellen ist, der die Punkte 0, >. enthält, l)ekommen 

 wir, da dann (f'(>\,r.^) positiv ist, zwei symmetrische -S'-Functionen. 



C Es seien zwei Exponenten, « und r, rein imaginär, der 

 dritte, ;., reell. Da (p[i\,r.^ fih- r=cc, 1 negativ, für r = positiv ist, 

 so liegt jetzt in den Intervallen von — oc bis und von bis 1 je eine 

 Wurzel der Gleichung q. [i\, ;-.,) = 0. 



24. Nur wenn r ein Punkt desjenigen Theiles r* r** der 

 Axe des Reellen ist, welcher den Punkt enthält, bekommen wir, 

 da dann (p{i\,i'.^ positiv ist, zwei symmetrische 5-Functionen. 



D. Es seien alle drei Exponenten rein imaginär. Die vor- 

 liegenden Verhältnisse wolle man mit denen des ünterfalles A vergleichen. 

 Die beiden Verzweigungspunkte r*, ;-** sind: 



ß) conjugirt complex, wenn X"<^"+r" ist. Da <p{i\,r^ für 

 alle reellen Werthe r negativ ist, so giebt es überl)aui)t keine symmetri- 

 schen 6"- Functionen. 



/i) beide reell (und natürlich von einander getrennt), wenn ;i">ju"+ v" 

 ist. Da <f:{.'\>'i) jetzt für ;' = 0, cc,l negativ ist, so liegt in jedem Intervall 

 wieder eine grade Anzahl von Wurzeln der Gleichung q{i\,r^=z^. Man 

 überzeugt sich leicht, dass beide Wurzeln im Intervall von 1 bis + rv liegen. 



25. Nur wenn r in demjenigen Theile /-*/'** der Axe des 

 Reellen liegt, der die Punkte (),->., 1 nicht enthält, bekommen wir, 

 da dann (pi^'^.,}'^ positiv ist, zwei symmetrische .S"-Functionen. 



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