[43] Geometr.-analyt. Theorie der symmetr. S-Functionen mit einf. Nebenpunkt. 249 



(18.) .. = aogi±i^^^. 



Diese Formel wird uns später nocli gute Dienste leisten. 



Es sei ferner A' ein beliebiger Punkt der Kugel, X* der zu ihm in 

 Bezug- auf J^i symmetrisch gelegene Punkt, A'j der zu X* in Bezug auf A^jj 

 symmetrisch gelegene Punkt. Dann gilt der Satz: 



Xi geht aus A' durch Anwendung der folgenden hyperbolischen Sub- 

 stitution hervor: 



S, — /■, 2l'7li S — fy 



e 



St—fi s — fi 



1. Nach diesen Vorbemerkungen betrachten wir jetzt die Kreis- 

 bogendreiecke mit zwei reellen Winkeln, Xu'.v und fi„'ji. und einem 

 rein imaginären Winkel, v^'^ti. Im § 19 der „Beiträge" haben wir 

 gezeigt, wie am einzelnen „Kern"^) (discontinuirlich) sich zunächst die ,,re- 

 ducirten" Dreiecke construiren lassen und auf diese dann die ., erweiterten" 

 Dreiecke sich aufbauen. Naturgemäss mussten wir hierbei dem Auftreten 

 ganzzahliger Exponenten eine besondere Untersuchung widmen. Wir geben 

 jetzt eine andere Einführung dieser Kreisbbgendreiecke auf Grund einer 

 continuirlichen Constructionsmethode, die jener analog ist, welche wir für 

 die Kreisbogendreiecke mit reellen Winkeln im § 14 der „Beiträge" ent- 

 wickelt haben. Diese neue Einführung erweist sich für unseren Zweck 

 besonders vortheilhaft, da sie alle Einzelfälle in sich umfasst und die 

 Gesammtheit aller hierher gehöriger Dreiecke mit einem Blick zu über- 

 schauen gestattet. Es seien .ri,«/,,^', mit der Bedingung .<•, ^ «/, drei specielle 

 Werthe der Grössen x^^', //o', j'o"- Wir gehen aus von dem 

 Dreieck chdiCi mit drei verschwindenden Winkeln, und 

 zwar sei a^ der Mittelj)unkt des Kreises des Bogens 

 (^jCi, wie es Figur 11 zeigt. Zieht sich dann der Kreis 

 der Seite ti^Ci zusammen, während er stets den Kreis \'" 



der Seite a^ö^ im Punkte <?, berührt, so geht die Ecke Fie Tl 



i^i verloren; wir erhalten ein Kreisbogendreieck, von 



') d. b. dem Gebilde der drei Geraden, welche die beiden Fixpunkte jeder der drei 

 zu dem Dreieck gehörenden linearen Substitutionen verbinden, wenn wir das Dreieck auf der 

 Kugel gelegen annehmen. Vgl. „Beiträge" § 2. 



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