[69] Geometr.-analj't. Theorie der symmetr. 5-Functionen mit einf. Nebenpnnkt. 275 



meteru r ixnd A^ gleichen Ausdrücke in die Differentialgleichung (9) (pag. 25) 

 ein, so wird ihre rechte Seite eine rationale Function von «. 



Wir nehmen an, den Exponenten i. //, v seien specielle Werthe gegeben. 

 Es sei sodann .Vo ein specieller Werth des Argumentes x mit positivem ima- 

 ginärem Bestandtheil. Ferner seien C, Q, Cj gegebene endliche (complexe) 

 Constante, von denen jedenfalls Ci von verschieden sein soll. Aus der 

 allgemeinen Theorie der Differentialgleichungen folgt dann: 



51. Giebt man dem Parameter « irgend einen Werth «o, 

 sodass der zugehörige Werth >■=>•« von .v„ verschieden ist, so 

 existirt stets eine und nur eine Particularlösung S^ (.v) der 

 Art, dass ein Zweig von ihr in der Nähe des Punktes .Tq 

 regulär ist und für .v = Vo die Gleichungen: 



5o = C, 5; = q, \" = C erfüllt.') 



Die rechte Seite der Differentialgleichung ist als Function des Para- 

 meters a betrachtet regulär in der Nähe eines jeden Punktes «, dem ein 

 von X verschiedener AVerth /• zugehört. Auf Grund dieser Thatsache ge- 

 stattet uns die allgemeine Theorie der Differentialgleichungen dem Satze 51 

 die folgende Erweiterung') hinzuzufügen: 



52. Wenn «„ wie oben irgend ein specieller Werth von 

 a ist, sodass der zugehörige Werth ,- = r„ von .Vo verschieden 

 ist, so ist die Particularlösung S^ als Function von a und « auf- 

 gefasst in der Nähe des Punktes ,ro, «,, regulär. 



Das Argument x der Function S„ deuten wir nach Satz 11 (pag. 24) auf 

 einer (allgemein gesprochen) unendlichblättrigen Riemann'schen Fläche. Es 

 sei A'i irgend ein zweiter, ebenso wie .Vo in einem bestimmten Blatte gelegener 

 Werth von .r, der von 0, ex, 1 verschieden und kein Unendlichkeitspunkt 

 der Function 5^ (.r, «„) ist. Nach der Methode der analytischen Fortsetzung 



') In allgemeinerer Form ist dieser Satz z. B. bewiesen in Goursat, Vorlesungen über 

 die Integration der partiellen Difterentialgleichungen erster Ordnung, § 5 pag. 10. Leipzig 189.3. 



2) Dieselbe ist wieder ein specieller Fall eines weit allgemeineren Satzes, der sich 

 in Goursat, 1. c. § 7, p. 16 findet und den wir der Kürze halber hier wiederzugeben unter- 

 lassen. 



