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Friedrich Schilling, 



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im Sinne von Weierstrass kann mau aus dem ursprüuglicheu P^lement der 

 Function ^o (.i-, «), welches nach Satz 52 für die Umgebung des Punkts -To, «o 

 erklärt ist. mittelst einer endlichen Anzahl von Schritten ein anderes für 

 die Umgebung der Stelle x^, a^ gültiges ableiten. Auf solche Weise ge- 

 winnen wir als Resultat den Satz: 



53. Die in den Sätzen 51 und 52 definirte Particular- 

 lösuug 5„(.v, a) ist in der Nähe eines jeden Punktes Ai, «„ regulär, 

 wenn nur .\\ von 0, oc, 1 verschieden und kein Unendlichkeits- 

 punkt der Function Sa{.x, «o) ist. — 



Wir führen statt der Particularlösung 5o (.r. «) eine andere (.So Cr, aj) 

 ein vermöge der Gleichung: 



(26.) (5o) ^ ^^o + (> ^ ^y jt.n.a.T solche endliche, von r iind « un- 

 ö Oo -f- r 



abhängige Grössen mit der Determinante jtt — ()ö=1 sein mögen, dass ö/S'o-t-r 

 für .v = a-o, « = «0 nicht verschwindet, damit -x = Xa, « = «0 kein Unendlich- 

 keitspuukt der Function (5o(a;, «o)) ist. Aus den Gleichungen: 



(5„) =^^o + e 



{s^y = 



(27.) 



folgt : 



20 50'^ 



(öÄ„ + Tf 



(^o), (5o)', (5o)" sind für .v = .ro, « = «0 ebenfalls drei be- 

 stimmten, endlichen Constanten gleich, von denen die mittlere 

 nicht verschwindet, und 



Sind umgekehrt drei endliche Constante gegeben, denen 

 (So), (So/, (So)" für -v = .Vo, « = «0 bez. gleich sein sollen, ohne 

 dass die mittlere verschwindet, so werden durch die Glei- 

 chungen (27) in Verbindung mit der Bedingung jrr — ()ö=1 die 

 Grössen ji. q. o, x eindeutig bestimmt, abgesehen davon, dass 

 man bei allen gleichzeitig das Vorzeichen umkehren kann. 



Aus dem Umstände, dass tür die Function (So) dann dasselbe gilt, 

 Avas in den Sätzen 52 und 53 von der Function So ausgesagt ist, schöpfen 



