280 Friedrich Schilling, [74] 



Es sei jetzt «„ iusbesondere ein solcher specieller Werth des Para- 

 meters ß, dass die zug-eliörigeii Werthe »o und ^Ji reell sind und ;•„ von 

 0, oc, 1 verschieden ist. Dann ist die Function 5o (.r, «) eine symmetrische 

 5- Function. 



Aus der geometrischen Theorie des dem Zweige ^o* (v, uo) entsprechenden 

 Kreisbogendreiecks wissen wir, dass für « = «o entweder alle sechs Fix- 

 punkte der Substitutionen j, b, r von einander verschieden sind oder drei, 

 von denen jede der Substitutionen einen liefert, in denselben Punkt zu- 

 sammenfallen, die drei übrigen aber von letzterem und von einander ver- 

 schieden sind. Wir können daher stets drei für a = a^ nicht zusammen- 

 fallende Fixpunkte auswählen. Dieselben seien mit ^, («) für / = 1, 2, 3 

 bezeichnet. 



Würden wir dem Parameter « nur solche Werthe «^ geben, welche 

 symmetrische Functionen S* {x, «J bedingen und «^ von lt^^ aus sich con- 

 tinuirlich ändern lassen, so würde auf Grund des Satzes 53 (pag. 69) sich 

 auch die Begrenzung des der Function S* (.v, «,) zugehörigen Kreisbogen- 

 dreiecks continuirlich ändern und damit auch das System der drei Kreise, 

 deren Bogen die Begrenzung bilden. Ist es nun möglich, aus der Function 

 S* {x, a,) eine andere Particularlösung 5* [x, «,) abzuleiten, so dass die drei 

 Kreise der Begrenzung der S* [x, a.,) entsprechenden Kreisbogendreiecke 

 für die verschiedenen Werthe «, mit den für c = «„ sich ergebenden Kreisen 

 zusammenfallen? Als nothwendige Bedingung hierfür ergiebt sich, dass drei 

 nicht zusammenfallende Fixpunkte sich mit «, nicht ändern dürfen. Dass diese 

 Bedingung auch hinreichend ist, wird sich im Laufe der Untersuchung 

 ergeben. 



Wir führen, um die nothwendige Bedingung zu befriedigen, an Stelle 

 des Zweiges 5o* [x, a) der durch die Bedingungen des Satzes 51 definirten 

 Function Sg {x, o) den entsprechenden Zweig 5* (x, «) einer neuen Partikular- 

 lösung 5 {x, a) ein vermöge der linearen Substitution : 



(33.) 



S* (x, a) = „ ^ . ^- — oder : 



VOo* {x, «) -|- tv 



tS^* + u — v.Sa*S* — tv S* = 0, 

 wo die Verhältnisse der Grössen t, u, v, tv Functionen von « allein sein sollen. 



