284 Friedrich Schilling, [78] 



§ 17. 



Erweiterung der Betraclitiiiigen des vorij^en Paragraphen 

 für ganzzahlige Exponenten. 



Wir wollen jetzt aucli zulassen, dass die Exponenten x, fi, v ganz- 

 zahlige Werthe haben. Wir beschränken uns darauf, diejenigen Punkte her- 

 vorzuheben, in welchen die Betrachtungen des vorigen Paragraphen dann eine 

 Modification erfordern. Es sei etwa der Exponent x ganzzahlig. (Die analogen 

 Entwicklungen gelten natürlich, wenn ^ oder »• ganzzahlig ist). Die pag. 71 

 eingeführten Bezeichnungen mögen auch hier in gleicher Weise gültig sein. 

 Zunächst gelten die Betrachtungen der §§ 15 und 16 bis zur Formel (30) 

 (pag. 72) incl. unverändert auch hier. Die durch die Gleichung (28) ge- 

 gebene Fundamentalsubstitution A des Zweiges S* (.v, «) ist jetzt jedoch 

 für einen bestimmten Werth « entweder eine identische oder eine parabolische. 



Ist die Fundamentalsubstitution A eine parabolische, so setzen wir 

 wieder voraus, dass der einzige Fixpunkt / derselben nicht mit co zusammen- 

 fällt. Dann gelten wieder die Gleichungen (31), sowie der ihnen folgende 

 Satz der Seite 72. 



Ist die Fundameutalsubstitution A dagegen die Identität, so sei der 

 Werth S* {x, «„) ftii" v = mohi unendlich. Es ist jetzt y, («„) = y,- («„) für 

 /' = 1, 2, 3. Die auf den rechten Seiten der Gleichungen (30) stehenden Ver- 

 hältnissgrössen werden daher für « = «0 bezüglich: | 1,«/,^ («„), 2/, («o) 1? Ö, 0, 

 I 1, »// («o), Vi («o) I • Da die erste dieser Grössen endlich ist und nicht ver- 

 schwindet, so gelten auch hier die Gleichungen (31) und der ihnen fol- 

 gende Satz. 



Man überzeugt sich nun leicht von der Richtigkeit des folgenden 

 Theorems. 



60. Ist für alle Werthe « in der unmittelbaren Umgebung 

 der Stelle «o die Fundamentalsubstitution des Zweiges S* (.r, «) 

 die Identität, so ist sie überhaupt für jeden beliebigen Werth 

 ß die Identität. 



Ist ferner für unendlich viele Werthe « die Fundamentalsubstitution A 

 die Identität, so muss es nothwendig eine Häufungsstelle «;, der Werthe «• 

 geben. Wir setzen einen Augenblick «o = "u- Da die Grössen g und h in 



