286 Friedrich Schilling, [80] 



Der F i X 1» u 11 k t / der parabolischen Substitution A ist 

 auch eine in der Nähe von «„ reguläre Function von «. 



Ist zweitens die Fundameutalsubstitution a die Identität, so ist die 

 •Function 5o* (v, a) auch in d e r N ä h e v o n .i = 0, « = «o regulär. 

 An die Stelle der Fixpunkte /j, /, des allgemeinen Falles trete jetzt der 

 Werth «1 der Function S^' (i, «) für x = 0, (d. h. im Falle einer symmetrischen 

 Function der Eckpunkt ai des zugehörigen Kreisbogendreiecks). Den Punkt a^ 

 wollen wir im Folgenden gleichfalls als Fixpunkt bezeichnen, als „Fixpunkt 

 der identischen Substitution", um uns bequem ausdrücken zu können. 



Bis zum Schlüsse dieses Paragraphen handelt es sich jetzt wieder 

 nur um symmetrische ^'-Functionen. 



Es ist dann die Frage: Köimen wir auch hier aus den Fixpunkten der 

 Fundamentalsubstitutionen A, B, r des Zweiges 5/ (.i , «„) stets drei v o n 

 einander verschiedene auswählen ? 



Wenn wir die geometrische Theorie der Kreisbogendreiecke mit ein- 

 fachem Knotenpunkt überblicken , so erkennen wir zunächst , dass diese 

 Frage sofort zu bejahen ist, falls einer oder mehrere der 

 Exponenten rein imaginär sind. Ferner erinnern wir uns 

 daran, dass jedes Kreisbogendreieck mit einfachem Knoten- 

 punkt und reellen Winkeln , abgesehen von dem nur im 

 Ausnahmefall vorkommenden Kreisbogendreieck desUeber- 

 gangsfalles (pag. 59), wenigstens ein erstes oder ein zweites 

 Grenzdreieck besitzt. Sind daher alle drei Exponenten reell, 

 Fig. 40. so ist nach § 14 der „Beiträge" unsere Frage stets dann 



und nur dann zu verneinen, wenn ein solches Grenzdreieck 

 für das Kreisbogendreieck des Zweiges 5o* (.i , «„) und damit auch das letztere 

 vom Bogen derselben drei Kreise begrenzt wird, wie das Kreisbogendreieck 

 ohne Knotenpunkt, welches die Winkel jr, 0. besitzt (Fig. 40).') 



In diesem besonderen Falle ist von den Substitutionen a, B, F eine 



') Bezeichnen wir die Exponenten des Grenzdreiecks in der Auswahl mit A,, //,, r,, 

 dass P., ^(U, >i'| ist, so ist die nothwendige und hinreichende Bedingung für das Eintreten 

 des im Texte genannten speciellen Falles: es müssen /i^, //,, r, ganze Zahlen von ungrader 

 Summe sein, die überdies der Ungleichung /Ij > //, + j'i genügen. 



