288 Friedrich Schilling, [82] 



§18. 



Die symmetrischen 5-Fimctionen des Ausnalimefalles 

 und ilire Kreisbogendreieclie. 



Es möge der Ausnahmefall vorliegen und dementsprechend die Be- 

 zeichnung der reellen*) Exponenten so gew<ählt sein, dass ;. = ^ + j> ist. Die 

 ^-Functionen genügen dann entweder der Difterentialgleichung des Typus A 

 oder der des Typus B (vgl. pag. 27). Die durch Gleichung (24) (pag. 68) 

 gegebene Substitution geht jetzt über in : 



(24*.) r=a. 



Ferner gilt die Formel (25), wenn der Typus A vorliegt, die Formel 

 (25*) (pag. 68, Anm. 1), wenn der Typus B vorliegt; diese Formeln nehmen 

 indess die einfache Gestalt der Gleichungen 14a und 14b (pag. 27) an. 



Wir wollen jetzt den Ausnahmefall wieder dadurch erledigen, dass 

 wir uns fi'agen, in welchen Punkten unsere Betrachtungen auf den Seiten 68 

 bis 81 Abänderungen erleiden müssen. Die Gleichung (24*) gewährt uns 

 die Berechtigung, bei dieser Uebertragung an Stelle von « und «o jetzt 

 einfach stets »• und >o zu lesen. Zunächst können wü* feststellen, dass die 

 Entwicklungen des § 15 sich ohne irgend welche weitere A ender ung auf 

 den Ausnahmefall übertragen. 



Im § 16 bleiben bis pag. 73 gleichfalls alle Entwicklungen des Haupt- 

 falles unverändert auch für den Ausnahmefall bestehen. 



In der dann folgenden Untersuchung müssen wir jedoch ausnehmen, 

 dass «0 etwa den Werth >■*** = (Gl. (14), pag. 27) annimmt; denn da dem 



Zweige 5«* (x, r***) das Kreisbogendreieck des Uebergangsfalles (pag. 59) ent- 

 spricht, so können wir in diesem Falle allgemein nicht drei von einander ver- 

 schiedene Fixpunkte angeben, auch nicht bei Zuhilfenahme von analytischen 

 Fortsetzungen des Zweiges ^o* (-^'. r***). Fügen wir aber die Bedingung hinzu, 

 dass «0 nicht gleich >*** sein soll, dann gelten alle Betrachtungen bis auf 

 den letzten Absatz des § 17 ohne Aenderung auch für den Ausnahmefall. 



1) Sind nämlich im Ausnahmefalle alle drei Exponenten rein imaginär oder zwei rein 

 imaginär, der dritte reell, so giebt es ja überhaupt nur ein einziges Kreisbogendreieck mit 

 oder ohne Knotenpunkt, während der Ausnahmefall von vorneherein ausgeschlossen ist, wenn 

 nur einer der Exponenten rein imaginär, die übrigen reell sind. So bleibt eben nur der Fall 

 dreier reeUer Exponenten zu betrachten übrig. 



