[5] Ueber zwei Definitionen der Endlichkeit etc. 305 



linie z.B., als Punktmeng-e betrachtet, ist gewiss iinendlich; sie ist nicht 

 einmal .,abzählbar unendlich", sondern hat sogar die Mächtigkeit von Gr. 

 Cantor's zweiter Zahlenklasse. Wenn wir diesen Kreis ein Stück weit 

 in sich selbst heruraschwingen und als Bild jedes Punktes dessen neu er- 

 worbene Lage gelten lassen, so ist diese Zuordnung eine gegenseitig ein- 

 deutige; es ist sowohl die Voraussetzung erfüllt, dass jeder Punkt als Ob- 

 jekt sein Bild habe, als auch die oben an solche Voi"aussetzung geknüpfte 

 Forderung, dass zu jedem Punkt der Menge, als Bild betrachtet, auch ein 

 Objekt gehihe. Wer nur dies in's Auge fasst, dem mögen leicht Zweifel 

 an der Stichhaltigkeit von Peirce's Definition sich aufdrängen. Nachdruck 

 ist jedoch auf das Herumkommen müssen zu legen, auf Peirce's Wort 

 „necessarily", worauf ich mit den Worten „nach was immer für einem Prin- 

 zipe" sowie mit dem „allemal" hingewiesen. 



Völlig muss aber jeder Zweifel an der Identität der Definitionen I 

 und Verneinung von II schwinden, wenn wir dieselben pasigraphisch for- 

 muliren in jener Zeichensprache, die sich aus den 



De Morgan I . , ,, t^ . 



,.„ , -Peirce-Mitchell-Peirce sehen 



(Boole) I 



Anstrengungen herausentwickelt und deren so höchst einfache Bezeichnungs- 

 prinzipien ich in meiner Note Math. Annalen (Bd. 46, S. 144. . 158) bekannt 

 gegeben — und wenn es alsdann gelingt, eine jede der beiden Definitionen 

 rechnerisch in die andere zu transformiren, somit ihre Aequivalenz als Aus- 

 sagen nachzuweisen. 



Ich will die Worte „unendlich" und „endlich" in die Symbole 

 ec und öö — letzteres das Zeichen für oc mit übergesetztem Negationsstrich 

 ■ — abkürzen. Man lese also öö als („nicht unendlich" sive) „endlich". 



Die Definition I stellt alsdann sich wie folgt dar: 



1) (a ist oo) = i:{z; z -\- z;z^V){z; a C^a=^z; z; a) 



wo das letzte Subsumtionszeicheu =^ auch als = geschrieben werden dürfte 

 — also, wie man sieht, rechts mit Aufwand von nur einem Dutzend Lettern. 



Erinnert sei indess, was das vorkommende Zeichen d (^er Unterord- 

 nung betrifft, dass allgemein {a C_h) = {a -4^1)) (h ^ a) = {a -^h) {h ^ a) bedeutet, 

 und ein a zum „echten Teile" eines ö stempelt — was man auch noch 

 in a=^6=j=a zusammenziehen könnte. Ebenso Hesse sich die, ähnlich wie 



