Li 5] Ueber zwei Definitionen der Endlichkeit etc. 315 



rück oder „herum "kommen müsse, hat gewiss sclion Mancliem vorgescliwebt. 

 Und auch die andere, die Definition I, ist mir seit vielen Jahren bekannt'). 

 Solches mögen auch Andere schon bemerkt haben; das lag wol 

 nicht allzutief. Die Hauptsache ist jedoch: etwas mit der Definition ge- 

 macht zu haben. Das hat (wie angeführt) schon Peirce, der die Defini- 

 tion auch exakter formulirte, in gewissem Maasse gethan. Aber der Ruhm, 

 auf die Definition I je in eigner Richtung eine fein ausgearbeitete und kon- 

 sequent aufgebaute Theorie gegründet, resp. sie zum Ausgangspunkt einer 

 zukunftsreichen Disziplin genommen zu haben wird den Herren Dedekind 

 und Cantor immer verbleiben. 



§ 2. 



Ueber Gleichmächtigkeit von Mengen liaben die Untersuch- 

 ungen der beiden Autoren, neuerdings besonders die gerechtes Aufsehen er- 

 regende Arbeit von G. Cantor (Math. Annalen Bd. 46, p. 481 . . 512), eine 

 Reihe von wichtigen Sätzen zutage gefördert, die, indem sie auf Zahl- 

 begriffe sich in keiner Weise berufen, der reinen Logik zuzuweisen sein 

 dürften, wo sie als zum Grundstock einer Theorie der eindeutigen Zuord- 

 nung und Abbildung gehörig sich darstellen. (Nicht minder dürften ebendahin 



1) Ich darf wol anführen, wieso. Bei Abfassung meines 1873 erschienenen Lehr- 

 buch der Arithmetili und Algebra (Bd. 1) hatte ich Herrn Lüroth geklagt, dass ich einen 

 Beweis für die Thatsache vermisste, dass wenn bei eineindeutiger Zuordnung zwischen den 

 Elementen von zwei (endlichen) Mengen einmal dies ohne Rest aufgeht, dann es immer so 

 sein müsse, und dass wenn einmal bei der einen (der „grösseren") Menge ein Rest übrig 

 bleibt von nicht mehr zuordnungsfähigen Elementen (weil die Elemente der andern Menge 

 eben „alle geworden") dann stets bei ihr ein Rest bleiben müsse, in was immer für einer 

 Weise man auch die Zuordnung ausführen mag. Daraufhin (ich h.itte nur das Verdienst der 

 Fragestellung) stellte mir bekanntlich Lüroth für jene Thatsache einen Beweis zur Ver- 

 fügung, der sich in meinem Buch mitgeteilt findet, und den mau auch heute noch als an- 

 schaulich und überzeugungskräftig gelten lassen kann, wenn er auch nicht qua „Beweis" 

 den rigoroseren Anforderungen einer seitdem höher entwickelten und mit Recht anspruchs- 

 voller gewordenen Logik genügt (er behält dafür den Vorzug, solch raffinirtere Logik nicht 

 voraussetzen zu müssen). Und schon ein paar Jahre darauf bemerkte mir Herr Lüroth, er 

 pflege die Sache in seinen Vorlesungen so darzustellen, dass sich eben durch jene Eigenschaft 

 die endlichen Mengen von den unendlichen unterschieden, welche letztern ja auch so, dass 

 ein beliebiger Rest bleibt, auf sich selbst z. B. abgebildet werden könnten — was mir auch 

 als eine richtige Definition für beide Arten von Mengen sofort einleuchtete. 



