316 Ernst Schröder, [16] 



auch die Begiiffserkläruiigeii über einfache und mehrfache „Ordnung" von 

 Mengen und deren Typen, nebst darauf bezüglichen Sätzen zu verweisen 

 sein.) 



Jene Sätze nun, wie Herr Cantor zu ^^ bis £, p. 484: in Aussicht 

 stellt, mit Hülfe des Begriffs der (eventuell und zumeist, natürlich, trans- 

 finiten) Cardinal zahlen zu beweisen, muss, so willkommen der Beweis 

 auch sein wird, gewiss als ein Umweg bezeichnet werden und im Interesse 

 der Reinheit der Methode ist zu verlangen, dass schon nach den Grund- 

 sätzen der allgemeinen Logik aus der Definition der Gleichmächtigkeit 

 selbst ein solcher Beweis herausentwickelt und in streng analytischer 

 Weise konstruirt werde — so, wie ich dies in der That für diejenigen der 

 hierher gehörigen Sätze, die bereits in der Dedekind'schen Schrift sich 

 finden, im § 31 meines Bd. 3 ausgeführt habe. Dies (zunächst, und noch 

 einiges mehr) ist das Ziel, welches mir bei der vorliegenden Arbeit vor- 

 schwebt. 



Es sei gestattet, erst einmal sämtliche bis jetzt bekannten Sätze 

 über Gleichmächtigkeit von Mengen — insoweit dieselben „von allgemeiner 

 Natur" sind, nämlich sich auf voraussetzungslos wie immer geartete, sei es 

 auch in dieser oder jener AVeise transfinite Mengen a. b, c, d, e . . . beziehen 

 — übersichtlichst zusammenzustellen, und zwar „pasigraphisch formulirt" 

 in jener Zeichensprache, die mau mit der Zeit nicht umhin können wird 

 als die wirkliche Begriffsschrift anzuerkennen. 



Unter diesen Sätzen wird sich auch ein paar ganz unentbehrlicher 

 finden, die mir bislang noch nicht gebührend betont zu sein scheinen. 



Die Definition der Gleichmächtigkeit wurde oben schon in 7) an- 

 geführt und kann auch sehr praktisch durch Verbindung von 6) mit 4) in 

 der Gestalt angesetzt werden: 



14) (a~fc) = ^(^; S-F^;Ä'=$r)(&^^;o.)(a^5;6). 



Als die Sätze, deren Bedeutung und Beweis nachher zu besprechen 

 sein wird, reihen sich an: 



15) (a ~ &) = (?/ ~ «), 16) a ~ a, 17) (a ^ 6) (?, ^ c) =$ (a ~ c), 



18) (a ~ 6) (c ~ rf) . . (ac = 0) (i(? = 0) . . =^ (a + c . . ~ ?< + rf . .), 



