[21] Ueber . . . G. Cautor'sche Sätze. 321 



verschiedenes vermuten nnd es links mit .r, rechts mit y bezeichnen. Doch 

 wird sich schliesslich zeigen, dass sich bei dem Beweise mit einem und 

 demselben z durchkommen lässt. 



Der Beweis von 23) sive 30) hat nun zwei Teile, indem die Gleich- 

 ung 30) als vor- und rückwärtige Subsumtion zu erliärten bleibt. Als vor- 

 wärtige, wo sie pasigraphisch den Satz 19) vorstellt wird sie durch beider- 

 seitiges Summiren nach z a fortiori folgen aus der nachstehenden Subsumtion. 



31) P,{a=^ }■ h) {h = z; J; h) ^ P. (^; a ^ &) (a = I; ^; a) 



wofern nur diese selbst sich rechtfertigen lässt. 



Beweis derselben, somit von 19). Die linke Seite L besteht aus 

 den Voraussetzungen : 



^; ^=^1', 2;e=^V, a=^c, c^g;h, h^z;c 



und aufgrund von diesen sind von der rechten Seite R noch die beiden 

 letzten Teilbehauptungen zu deduziren. Zu dem Ende nennen wir z;a = d. 

 Dann folgt: 'i-^d = '^z; s;\a^V\a:= a, also 0;rf=^a. Aber auch umgekehrt er- 

 gibt sich a^0;d — weil mit a=^c auch c^a + c = a + 7ic sein muss — 

 wie folgt: a=^c = ^;6 = i^;^; c=z\s; (a + ac) = s; d + s; z; ac=^z; d+ 1'; a^=s;d + a, 

 also a-^'z;d + a, d. h. a =4 z\ d, wie behauptet. Sonach muss, weil als vor- 

 und rückwärtige Subsumtion erwiesen, nunmehr als Grieichung gelten: 

 a = 2; d, oder a = ^;e; a, was die letzte Teilbehauptung von /^ gewesen. 

 Die andre folgt mittelst fi=^; a=^^; c = ^; S; &=^1'; 6 = ?* als d=^b oder z;a=^b 

 sogleich hinzu, q. e. d. 



Dass wie soeben gezeigt, mit s]a = d auch immer « = »^; d gegeben 

 ist, sooft a Teilmenge einer Menge c die ~ 6, ist ein bemerkenswerter Satz, 

 von dem wir auch später noch Gebrauch machen. 



Wie wir nun also L^R bewiesen haben, so hätten wir sei es für 

 31), sei es für 30), blos auch noch R^L und damit den Satz 21) zu 

 beweisen. 



Dies ist nun aber auf dem vorstehend illustrirten analytischen 

 Wege in keiner Weise angängig. 



Zwar folgt bei 31) aus der Hypothesis R der rückwärts anzusetzen- 

 den Subsumtion, mit i; ^; «=4^; ?*, leicht die Teilbehauptung a^'i\h ihrer 

 Thesis L, und von der andern Teilbehauptung derselben: h = s\ 3;h gilt 



