[35] Ueber . . . G. Cantor'sche Sätze. 335 



e d f g 



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Die ^behaiii)tnng der Thesis folgt direkt aus der Kombination der 

 JS'beliauptung-en in den Prämissen. Denn mit w^ dc^b ~ g de ist auch für 

 ein y verbürgt, dass n^^ d'^/dgdc, mithin a ^yc^ c sei, wie dort für ein 

 </(=/) behauptet. Das U der Thesis folgt ohne Beihülfe des Aussagen- 

 kalkuls wol nur auf apagogischen Wege, z. B. so: Gäbe es ein e sodass 

 C'^edc, somit auch t ~ «■c;^a~ rt'Cl^ wäre, so gäbe es auch ein o^ so dass 

 c ^ e ^ gdd d^i also c~gCi^ wäre — im Widerspruch (für/=:cr) zum Ilf 

 der Prämisse. Und ähnlich könnte man auch einen Widerspruch zum n_, 

 derselben ableiten. 



Mit 47) ist nun der wichtige Satz sichergestellt, dass (auch bei den 

 transfiniten Cardinalzahlen) die Beziehungen > und < transitive sein 

 müssen. 



Jetzt haben wir nur noch diese beiden Sätze, die Herr Cantor 1. c. 

 S. 484 ausspricht, anzugliedern und zu beweisen : 



48) (a < &) {i>Cc)^ (a < c) , (« C ^) (6 < c) ^ (a < c) 

 Beweis. Der erste Satz behauptet: 



n {b r^ e Ca), ^ {a <^ dC^>) ■ [^ C e) -^^ {<^ "^ ^ C «), ^ {a r^ d C ^)- 



e d € d 



Die i: der Thesis folgt a fortiori mit a '-^ d d b d c. Das n der- 

 selben indirekt. Denn gäbe es ein e so, dass c -^ e C^, so wäre auch 

 S d (^ '^ e <Z^ und existirte ein / sodass ^ (^ ^ Cf ~ ''', also b C/~ (^ ^nd 

 auch ein g sodass b -^ g da wäre im Widerspruch zum 77 der Prämisse. 



Der zweite Satz behauptet: 



{aC^) tl(c ^ e C^), ^{^ ~ dCc)^II{c ~ e'C_di,^{a ~ d C^)- 



Aus a d^ ~ ^ d^ folgt nun, dass für gewisse/" ist: a '^/d ^ Ci e, 

 also a ^/ d e ist, was die 2: der Thesis behauptet. Das 77 derselben folgt 

 indirekt : Gäbe es ein e sodass c ^ e d^, so wäre auch a fortiori c '^ e d^ 

 im Widerspruch zu dem 77 der Prämisse, q. e. d. 



Und damit sind dann sämtliche Sätze erledigt, die Hr. Cantor 1. c. 

 als einleuchtende oder schon („leicht"!) beweisbare anführt. Und weiter 



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