[39] Ueber . . . G. Cantor'sche Sätze. 339 



Durch Rückwärtseinsetzuiig- stellt sich sehr leicht das allg-emeiue 

 Gesetz heraus, das nicht minder leicht durch den Schluss von x auf ;i + 1 

 beweisbar: 



53) 



= y; ix;yy-, h = (y\x)hy\ h, 



hl + i =(x;yy-;bt = 



= x; (y; x)^; a = (x; y)>-\ x\ a. 



Dass nämlich schon für sich bei den relativen „Potenzen" (vergl. 

 Bd. 3, p. 184 sqq.) der Satz gilt: 



54) x\(y; x)>- = {x;tjy-\x 



— desgleichen natürlich auch x und y vertauscht — ist äusserst leicht zu 

 erhärten. 



Versteht man unter a^, 6„ die ursprünglichen Mengen a und 6 selbst, 

 so lassen sich die Formeln 53) auch noch für A = aufrecht erhalten, so- 

 fern man 2° = 1' definirt, d. h. die nullte Potenz eines beliebigen Relativs z 

 als den relativen Modul 1' deutet. 



Dass die Zahlzeichen 0, 1, wenn sie in unsrer Disziplin als Expo- 

 nenten oder Suffixe auftreten, mit den absoluten Moduln 0, 1 derselben ver- 

 wechselt werden ist wol nicht zu befürchten. Als Exponenten finden hier 

 bis auf weitres ausschliesslich natürliche Zahlen (blos bei den Substitutio- 

 nen auch negative ganze Zahlen) Verwendung. 



Als gemäss 19) mit 51, 52) äquivalent haben wir auch die beiden 

 Reihen von Grleiclimächtigkeiten: 



( (t «^ 6| »~ 0-2 '^ ^3 "^ ^4 '^^ ^5 '^ • ■ • "^ '^ix "^ ^'; + 1 '^ ^1) ■+ 2 "^ • • • 



I X y X y X y x y ' x ■ y 



?^ r^ «1 '~ &2 "^ ^i '^ ^4 '^ % '^ • • • '^ ^IX "^ ^hX + 1 '^ ^2) +2 '^ • ■ • 



' y X y X y x y x ' y ' x 



woraus ersichtlich, dass alle geraden a miteinander und mit den 

 ungeraden l, alle geraden h miteinander und mit den ungeraden 

 a gleichmächtig sind. Sobald es demnach gelingt, die Gleichmächtig- 

 keit eines geraden mit einem ungeraden a darzuthun (oder auch die zwischen 

 zwei ebensolchen h), so wird die Gleichmächtigkeit für alle Mengen aus 

 der Gesamtheit dieser beiden Reihen erwiesen sein. 



Zunächst lässt sich auch für eine jede von diesen beiden Reihen 

 unschwer das Zuordnungsprinzip ermitteln, welches irgend eine Menge der 



