[43] Ueber . . . G. Cantor'sche Sätze. 343 



So zwing-end uiisre Schlüsse gewesen sind, so tritt doch, wenn man 

 von Anfang an den „Fall C" (statt =^) ins Auge fasst und diesen nie aus 

 dem Auge verliert, eine merkwürdige Paradoxie zutage, dei-en Vorhanden- 

 sein erschwerend für die Entdeckung des Beweises sein musste, obzwar sie 

 dessen Triftigkeit nicht den geringsten Abbruch zu tliun vermag. 



Wie schon in 50) statuirt, müssen alle folgenden Projektionen (Ab- 

 bildungen) der projizirten Teilmengen immerfort echte Teilmengen der ihrer 

 Reihe angehörigen letzterwähnten Teilmengen sein und müssen es ohne 

 Ende fort bleiben. Und die Paradoxie ist zu erblicken in der für kein 

 noch so grosses x denkbaren aber in der Grrenze, bei A = oo sich ver- 

 wirklichenden Ueberganges der echten Teilmenge in eine unechte, näm- 

 lich in das Ganze solcher Grenzmenge! 



Es dürfte nicht überflüssig sein, an drei schon bekannte Analoga zu 

 dieser Paradoxie zu erinnern. 



Das erste ist das alte Paradoxon, dass Achilles die Schildkröte nicht 

 einholen könne, weil man nie mit den Ueberlegungen zu Ende kommen 

 kann, dass das ihn noch von ihr trennende Zehntel, Hundertstel, Tausend- 

 stel, etc. eines Schrittes erst zurückgelegt werden müsse. Ein zweites lie- 

 fert die Goniometrie, wenn man den Endpunkt der Tangente eines Winkels 

 verfolgt, der vom spitzen wachsend durch den Rechten in einen stumpfen 

 übergeht: obwohl es hier nie zu erleben und auch gar nicht vorstell- 

 bar ist, wie dieser Endpunkt oder Schnittpunkt des zweiten Winkelschen- 

 kels mit der zum ersten normalen Tangentenlinie die letztere verlässt 

 indem er zu existiren aufhört, muss solcher Vorgang doch als beim Eintritt 

 des genauen Parallelismus sich verwirklichend zugegeben werden. An 

 diesen Paradoxieen stösst sich heutzutage niemand mehr; sie dürfen als 

 aufgehellt gelten. 



Das dritte Analogen ist ein völlig striktes. Unsre Paradoxie ist in 

 der That ganz die gleiche, wie sie in der arithmetischen Analj'sis auch bei 

 Anwendungen des bekannten Grenzwertsatzes vorzuliegen scheint, wenn 

 etwa von einem bestimmten x ab stets «;. <CA<6;t, gilt, und zwar nach- 

 weislich stets mit < (nicht mit ^, weil) nie mit =, und wenn dann 

 aus lim a;=lim h; = c auf lim c; = c geschlossen wird! 



Dieser Schluss ist allgemein üblich und völlig legitim, obwohl doch 



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